(1+x)^x -> E^(xln(1+x)

Louise5012 · January 2019

Bonjour,
Dans un exercice on me demande de trouver la dérivée de la fonction (1+x)^x mais on me dit que ((1+x)^x)' = (e^(xln(1+x))'. Donc m'a question est pourquoi ces deux formulations sont censées être les mêmes ? De plus si quelqu'un a le temps de m'expliquer les étapes de la dérivation (on est censé trouver : (1 + x)^x ln (x + 1) + x(1+x)^(x-1)) ça me serait d'un grand secours.
Je m'excuse pour la formulation et vous remercie d'avance.

Poirot · January 2019

Il te suffit de savoir que si $a$ et $b$ sont des réels, avec $a > 0$, alors $$a^b = \mathrm{e}^{b \ln(a)},$$ ça fait partie des propriétés de base de la fonction exponentielle.

Ensuite dans ton cas, il suffit de dériver la composée $x \mapsto \mathrm{e}^{x \ln(1+x)}$, de la forme $f \circ g$ avec $f : x \mapsto \mathrm{e}^x$ et $g : x \mapsto x \ln(1+x)$.

Louise5012 · January 2019

Merci beaucoup pour cette réponse, j'ignorais cette propriété.

Math Coss · January 2019

A vrai dire, c'est souvent la définition de $a^b$...

(1+x)^x -> E^(xln(1+x)

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