Maintenant que j'ai compris toutes les règles (peut-être), je peux demander à Sage, qui dit qu'il n'en existe pas avec huit coefficients égaux à $1$.
En voici un sans cette dernière contrainte : \[\left(\begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right).\]
Voici une procédure Sage qui dit combien il y a de matrices à coefficients dans $\mathbb Z/2\mathbb Z$ panmagiques de somme $1$, de taille $n$ et avec $k$ coefficients égaux à $1$ :
n=4; k=8
M=matrix(GF(2),4*n,n^2)
for i in range(n) :
for j in range(n) :
M[4*i,4*i+j]=1
M[4*i+1,4*j+i]=1
M[4*i+2,4*j+(i+j)%4]=1
M[4*i+3,4*(3-j)+(i+j)%4]=1
V=vector(GF(2),4*n*[1])
Solpart=M\V
Solhom=M.right_kernel()
L=[Solpart+v for v in Solhom]
len(filter(lambda A : add(ZZ(n) for n in list(A))==k, L))
Elle répond bien $0$ pour $n=4$, $k=8$. Elle répond aussi $64$ pour $n=4$, $k=6$ ou pour $n=4$, $k=10$.
en faisant tourner le carré de départ de soland (4 positions), puis en permutant circulairement les lignes et les colonnes ( 16 possibilités par position) on obtient bien les 64 carrés panmagiques pour n=4 , k= 6 .
@kolotoko : Force brute : pas de solution $4\times4$ avec 8 X et 8 O @Math Coss : L'intérêt des X et des O est qu'il n'est pas nécessaire de savoir lequel vaut 1 .
Réponses
C'est quoi XOR ?
Corrigé le 2.1.2019
N’est-ce pas le contraire ?
1 XOR 1 = 0 (le « ou » exclusif)
1 XOR 0 = 1
0 XOR 0 = 0
0 XOR 1 = 1
je ne suis pas sûr de bien avoir compris ce dont nous parle soland mais peut-être convient ce carré :
x o x o
o x o x
o x o x
x o x o
Bien cordialement.
kolotoko
en ajoutant une contrainte indispensable :
La somme magique est 1
faire un carré magique est possible avec 8 O et 8 X et , mais faire un carré panmagique me semble impossible.
Mais peut-être impossible n'est pas suisse.
Bien cordialement.
kolotoko
Je n'en ai pas trouvé.
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right).\]
PS : ajout d'une deuxième solution avec aussi peu de coefficients non nuls que possible.
PPS : Non, ce ne sont pas des solutions, je n'ai pas compris la contrainte ! Voici trois carrés magiques mais pas panmagiques avec la moitié des coefficients égaux à $1$ : \[\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right),\quad
\left(\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\quad
\left(\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right).\]
0001
0010
1011
0111
dont la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1 modulo 2.
0010
1000
1011
1110
En voici un sans cette dernière contrainte : \[\left(\begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right).\]
Elle répond bien $0$ pour $n=4$, $k=8$. Elle répond aussi $64$ pour $n=4$, $k=6$ ou pour $n=4$, $k=10$.
il est clair que tout carré valable pour n = 4, k = 6 donne un carré valable pour n = 4, k = 10 et réciproquement ; il suffit d'échanger 0 et 1 .
Bien cordialement.
kolotoko
en faisant tourner le carré de départ de soland (4 positions), puis en permutant circulairement les lignes et les colonnes ( 16 possibilités par position) on obtient bien les 64 carrés panmagiques pour n=4 , k= 6 .
Bien cordialement .
kolotoko
@Math Coss : L'intérêt des X et des O est qu'il n'est pas nécessaire de savoir lequel vaut 1 .
voici un carré panmagique de somme 0 :
A B A D
D C B C
A D A B
B C D C
faut-il lire plutôt ceci:
A B C D
D C B A
C D A B
B A D C ?
Bien cordialement
kolotoko
Mon carré est inattendu, pas le tien.
tu crois qu'on a un carré panmagique avec A = 0, C = 2, B = 0, D = 2 ?
Bien cordialement.
kolotoko