Somme utilisant des inversions

Bonjour,

Pour l'hérédité, on peut associer à toute $\pi\in S_{n+1}$, une permutation $\tilde\pi\in S_{n}$.

On la définit par : $
\quad
\tilde\pi(i) =
\begin{cases}
\pi(i) & \text{ pour } i < \pi^{-1}(n+1) \\
\pi(i+1) & \text{ pour } i \ge \pi^{-1}(n+1) \\
\end{cases}
%\left\{
%\begin{array}
%
%\end{array}
%\right.
$

Alors, on a : $
\quad
\def\inv{\mathrm{inv}}
\sum\limits_{\pi\in S_{n+1}}
x^{\inv(\pi)}
= \sum\limits_{i=1}^{n+1}
\sum\limits_{\pi^{-1}(n+1)=i}
x^{\inv(\pi)-\inv(\tilde\pi)}
\cdot
x^{\inv(\tilde\pi)}
$.

Si $\pi^{-1}(n+1) = i$, alors :

1. combien vaut $\def\ind{\mathrm{ind}}\ind(\pi)-\ind(\tilde\pi)$ ?
2. quelles sont les valeurs possibles pour la permutation $\tilde\pi$ ?