Question très compliquée

Si ton "produit" dispose de $n$ caractéristiques avec $m$ choix pour chaque caractéristique, il y a $m^n$ combinaisons possibles. Dans ton exemple, il y a $2^4=16$ possibilités.

Ce sera tout simplement $2 \times 3 \times 1 \times 4 = 24$ ;-)

Attention, dans ton premier cas je t'ai bien dit que le nombre de possibilités était $2^4$, ce qui correspond bien à $2 \times 2 \times 2 \times 2=16$ (et pas $2 \times 2 \times 2$).

Dans le cas général, si tu as $n_1$ choix pour la première caractéristique, $n_2$ choix pour la deuxième, etc. jusqu'à $n_r$ pour la $r$-ième caractéristique, alors tu as $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_r$ possibilités en tout.

Salut,

que tu écrives $2^4$ ou $2 \times 2 \times 2 \times 2$, tu écris la même chose. $2^4$ n'est qu'une notation pour abréger l'écriture $2 \times 2 \times 2 \times 2$.
Plus généralement, pour tout nombre $a$ et pour tout nombre entier $n > 1$, on note $a^n$ le produit $a \times ... \times a$ constitué de $n$ facteurs tous égaux à $a$.
Exemple : $1,57^8 = 1,57 \times 1,57 \times 1,57 \times 1,57 \times 1,57 \times 1,57 \times 1,57 \times 1,57$.

Pour répondre à ton autre question (pourquoi $2^4$ et non $4^2$) :
pour la première caractéristique, tu as $2$ possibilités, pour la deuxième caractéristique, tu as encore $2$ possibilités, pour la troisième caractéristique, tu as $2$ possibilités et pour la quatrième caractéristique, encore $2$ possibilités. Tu as donc au total $2 \times 2 \times 2 \times 2$ possibilités d'arranger les caractéristiques entre elles. Il s'avère que $2^4 = 4^2$ mais c'est une coïncidence.
Faisons un autre exemple : 3 caractéristiques avec 4 choix pour la première caractéristique ($a$, $b$, $c$, $d$), 2 choix pour la deuxième caractéristique ($m$, $n$) et 5 choix pour la troisième caractéristique ($v$, $w$, $x$, $y$, $z$). Tu as, au total $4 \times 2 \times 5 = 40$ "objets" différents. Pour s'en convaincre, on peut essayer de les lister de façon "intelligente" :

A. Les objets ayant $a$ comme caractéristique n°1 :
A. 1. Les objets ayant $a$ comme caractéristique n°1 et $m$ en deuxième caractéristique :
$a-m-v$
$a-m-w$
$a-m-x$
$a-m-y$
$a-m-z$
A. 2. Les objets ayant $a$ comme caractéristique n°1 et $n$ en deuxième caractéristique :
$a-n-v$
$a-n-w$
$a-n-x$
$a-n-y$
$a-n-z$

On recommence avec les objets ayant $b$ comme caractéristique n°1 :
B. Les objets ayant $b$ comme caractéristique n°1 :
B. 1. Les objets ayant $b$ comme caractéristique n°1 et $m$ en deuxième caractéristique :
$b-m-v$
$b-m-w$
$b-m-x$
$b-m-y$
$b-m-z$
B. 2. Les objets ayant $a$ comme caractéristique n°1 et $n$ en deuxième caractéristique :
$b-n-v$
$b-n-w$
$b-n-x$
$b-n-y$
$b-n-z$

On recommence avec les objets ayant $c$ comme caractéristique n°1 :
C. Les objets ayant $c$ comme caractéristique n°1 :
C. 1. Les objets ayant $c$ comme caractéristique n°1 et $m$ en deuxième caractéristique :
$c-m-v$
$c-m-w$
$c-m-x$
$c-m-y$
$c-m-z$
C. 2. Les objets ayant $c$ comme caractéristique n°1 et $n$ en deuxième caractéristique :
$c-n-v$
$c-n-w$
$c-n-x$
$c-n-y$
$c-n-z$

On recommence avec les objets ayant $d$ comme caractéristique n°1 (et on aura terminé) :
D. Les objets ayant $d$ comme caractéristique n°1 :
D. 1. Les objets ayant $d$ comme caractéristique n°1 et $m$ en deuxième caractéristique :
$d-m-v$
$d-m-w$
$d-m-x$
$d-m-y$
$d-m-z$
D. 2. Les objets ayant $a$ comme caractéristique n°1 et $n$ en deuxième caractéristique :
$d-n-v$
$d-n-w$
$d-n-x$
$d-n-y$
$d-n-z$

Ce qui nous fait bien un total de $40$ objets différents.

Ce serait encore plus clair présenté avec un arbre (mais je ne sais pas les faire en Latex).