Nombre de monômes
Il y a sûrement une formule pour le nombre de monômes de degré $d$
dans $\mathbb{Z}[X_1, X_2, ... X_n]$ ?
Merci
dans $\mathbb{Z}[X_1, X_2, ... X_n]$ ?
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Réponses
J'ai même retrouvé un exo corrigé que j'attache (cela a été plus long que de retrouver le coefficient binomial). En $n+1$ variables $X_0, \ldots, X_n$, au monôme $X_0^{\alpha_0} \cdots X_n^{\alpha_n}$, tu associes le dessin suivant (les $0$ sont des séparateurs) :
$$
\overbrace {1\ldots1}^{\alpha_0}0 \overbrace {1\ldots1}^{\alpha_1} 0\overbrace {1\ldots1}^{\alpha_2} 0 \cdots 0\overbrace {1\ldots1}^{\alpha_n}
$$
Et le tour est joué : explications dans la page attachée.
Encore merci.
Une homographie de la droite complexe est donnée classiquement par
$$
\begin{pmatrix} z_0\\z_1 \end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix} s & r \\ q & p \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} z_0\\z_1 \end{pmatrix}
$$
On standardise en exigeant que la matrice carrée H soit de déterminant 1,
mais une homographie est représentée par deux matrices opposées.
On a une représentation du groupe de Mœbius dans $SL(2,\mathbb{C})/\pm I_2$.
On évite ce tracas en donnant la même homographie par
$$
\begin{pmatrix} z_0^2 \\ \sqrt{2} z_0z_1\\ z_1^2 \end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix} s^2 & \sqrt{2}sr & r^2 \\ \sqrt{2}sq & sp+rq & \sqrt{2}rp \\ q^2 & \sqrt{2}qp & p^2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} z_0^2 \\ \sqrt{2} z_0z_1\\ z_1^2 \end{pmatrix}
$$
On a une représentation fidèle du groupe de Mœbius dans un sous-groupe de $SL(3,\mathbb{C})$.
Via cette représentation, le groupe de Mœbius agit sur l'ensemble des matrices $M(3,\mathbb{C})$ par
$$
h \mapsto \sigma_h : M \mapsto (H^{-1})^* M H^{-1}
$$
où $h$ est une homographie, $\sigma_h$ la permutation associée de $M(3,\mathbb{C})$, $M$ une matrice de $M(3,\mathbb{C})$, $H$ la matrice de $SL(3,\mathbb{C})$ qui représente $h$ et $X^*$ la transposée conjuguée de $X$
J'en arrive aux monômes. J'ai cherché des invariants polynomiaux de cette action,
c'est à dire des polynômes homogènes à 9 variables $Z_{ij}$, $i,j\in\{1,2,3\}$, qui prennent la même valeur quand ils sont évalués sur
$$
\begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} & z_{13} \\ z_{21} & z_{22} & z_{23} \\ z_{31} & z_{32} & z_{33} \end{pmatrix}
$$
et sur son image par $\sigma$.
Pour un invariant de degré 2 il y a 45 monômes à prendre en compte et 495 pour un invariant de degré 4.
Cela m'a convaincu de la nécessité de développer un critère restrictif vérifié par les monômes "admissibles".
Ce sont les monômes dont la moyenne des indices $i$ et celle des indices $j$ vaut 2.
Ce sont par exemple pour un invariant de degré 2 les cinq monômes
$$
Z_{22}^2, Z_{11}Z_{33}, Z_{13}Z_{31}, Z_{12}Z_{32}, Z_{21}Z_{23}.
$$
J'ai effectivement trouvé un invariant de degré 2, un de degré 3 (le déterminant) et un de degré 4 algébriquement indépendants.
Celui de degré 2 est
$$
Z_{22}^2 +2 Z_{11}Z_{33}+2 Z_{13}Z_{31}-2 Z_{12}Z_{32}-2 Z_{21}Z_{23}
$$
Voilà le sujet de mes cogitations ces temps.
Hisoire de m'amuser, j'ouvre un prog. magma sur ton histoire. Je continuerai plus tard. Juste une remarque : comme $\mathbb C$ est un corps trop compliqué pour moi dans CE contexte et même que $\sqrt 2$, c'est pas assez rationnel (à mon goût), j'ai laissé faire la nature. I.e. j'ai laissé étendre à la composante homogène de degré $2$ de $K[z_0,z_1]$ i.e. à la composante $Kz_0^2 \oplus Kz_0z_1 \oplus Kz_1^2$ l'action de la matrice $H$ sur la composante de degré $1$ $Kz_0 \oplus Kz_1$. De cette manière, $\sqrt 2$ ne peut pas apparaître (uniquement par des opérations de sommes et produits !). Ce que j'ai fait en degré 2, je pourrais le faire en tout degré $d$. Cela doit porter le nom de $\text{Sym}^d$-extension ou un truc dans ce genre là.
Et mon $K$, c'est qui ? C'est juste un anneau monté sur $\Q$ qui contient les indéterminées $s,r,q,p$. Voilà ce que cela donne. Ne pas s'inquiéter d'un léger désagrément quelque part lié à l'action à droite de magma. Cela veut dire que peut-être il faut remplacer une matrice par sa transposée, éternel problème pour mézigue.
> load "Soland.magma" ; Loading "Soland.magma" > // Soland : une histoire d'invariants > Q := RationalField() ; > K<s,r,q,p> := PolynomialRing(Q,4) ; > H := Matrix(2,2, [s,r,q,p]) ; > H ; [s r] [q p] > A<z0,z1> := PolynomialRing(K,2) ; > z0^H ; <------- action à droite de H sur le monôme z0 s*z0 + r*z1 > (z0^2)^H ; <-- sur le monôme z0^2 s^2*z0^2 + 2*s*r*z0*z1 + r^2*z1^2 > (z0*z1)^H ; <-- sur z0z1 s*q*z0^2 + (s*p + r*q)*z0*z1 + r*p*z1^2 > > d := 2 ; > Md := MonomialsOfDegree(A,d) ; > Md ; {@ z0^2, z0*z1, z1^2 @} > Hextension := Matrix(#Md,#Md, [[MonomialCoefficient(mi^H, mj) : mj in Md] : mi in Md]) ; > Hextension ; [ s^2 2*s*r r^2] [ s*q s*p + r*q r*p] [ q^2 2*q*p p^2]Plus le temps maintenant, mais je ferais joujou avec les invariants plus tard.
Aussi, le $\sqrt{2}$ fait que l'invarant de degré 4 est celui de degré 2 évalué sur la matrice des cofacteurs.
J'ai bien pensé que ça t'intéresserait.
J'ai également envie de te rapporter une partie de la lettre de Minkowski à Hilbert en 1892. Elle est d'une vacherie incroyable. Elle m'a été traduite en français de manière partielle. Dans cette lettre, Minkowski félicite Hilbert pour la résolution du problème des invariants mais écrase les prédécesseurs, ceux qui ne montraient que des cas particuliers (alors qu'Hilbert va faire la totale).
Des mots doux comme : `` ... il est vraiment temps de raser totalement la forteresse de tous ces chevaliers pillards, Stroh, Gordan, Stephanos, ou quelque soit leur nom, qui s'attaquaient par surprise aux invariants voyageant seuls ...etc...''.
Que je comprends comme ``A bas les bricolos des cas particuliers".
Si je te parle de cela, c'est qu'en 1997, un gars nommé Harm Derksen, a raffiné les idées d'Hilbert (1890) et a réussi en faire un algorithme : ``It came with a big surprise that Derksen (1997) could refine the ideas of Hilbert and turn them into an algorithm".
Et c'est son algorithme (Derksen) qui tourne sous magma sur ma machine. Et je peux t'assurer que cela la fait chauffer à un tel point que je n'ai pas la réponse (un système fini de d'invariants qui soit générateur). Cependant, c'est possible de calculer des invariants de degré donné. En voici quelques uns :
> I2 ; [ z11*z33 - 2*z12*z32 + z13*z31 - 2*z21*z23 + 2*z22^2 ] > I3 ; [ z11*z22*z33 - z11*z23*z32 - z12*z21*z33 + z12*z23*z31 + z13*z21*z32 - z13*z22*z31 ] > I4 ; [ z11^2*z33^2 - 4*z11*z12*z32*z33 + 2*z11*z13*z32^2 - 4*z11*z21*z23*z33 + 6*z11*z22^2*z33 - 4*z11*z22*z23*z32 + 2*z11*z23^2*z31 + 2*z12^2*z31*z33 + 2*z12^2*z32^2 - 4*z12*z13*z31*z32 - 4*z12*z21*z22*z33 + 12*z12*z21*z23*z32 - 4*z12*z22^2*z32 - 4*z12*z22*z23*z31 + z13^2*z31^2 + 2*z13*z21^2*z33 - 4*z13*z21*z22*z32 - 4*z13*z21*z23*z31 + 6*z13*z22^2*z31 + 2*z21^2*z23^2 - 4*z21*z22^2*z23 + 2*z22^4, z11*z13*z31*z33 - z11*z13*z32^2 - z11*z22^2*z33 + 2*z11*z22*z23*z32 - z11*z23^2*z31 - z12^2*z31*z33 + z12^2*z32^2 + 2*z12*z21*z22*z33 - 2*z12*z21*z23*z32 - 2*z12*z22^2*z32 + 2*z12*z22*z23*z31 - z13*z21^2*z33 + 2*z13*z21*z22*z32 - z13*z22^2*z31 + z21^2*z23^2 - 2*z21*z22^2*z23 + z22^4 ] > I4[1] eq I2[1]^2 - 2*I4[2] ; <--- une relation entre les 2 invariants de degré 4 et le carré de celui de degré 2. trueJ'en ai trouvé 1 en degré 2, 1 en degré $3$ (c'est le déterminant de la matrice $Z$), et 2 en degré 4 mais ils sont reliés comme tu le vois ici.
Je n'ai absolument pas réfléchi à la chose : je me suis contenté de programmer l'utilisation d'algorithmes sophistiqués. De plus, j'ai des soucis de gauche et de droite, de transposée ou pas. Un truc important quand même je n'ai pas considéré la transposée conjuguée parce que je n'en n'avais pas les moyens (dans mon contexte). J'ai fait agir par $M \mapsto H M H^{-1}$.
Comme c'est pas moi qui paye, je vais lancer la totale de l'algorithme de Derksen.
Mais je suis trop mauvais en anglais pour apprécier.
Nouvelles du front : pas bonnes. Effectivement, l'algorithme de Derksen a fait chauffer ma machine :
On gagne pas à tous les coups. Qu'est ce qui nous reste ? Réfléchir (plus facile à dire qu'à faire).
Invariants de degré 5 : $IV2\times IV3$
Invariants de degré 6 : $IV2^3$, $IV3^2$, $IV2\times IV4$. Rien d'autre.
Et l'invariant en degré 2, tu en as une ``explication'' (géométrique par exemple) ?
Quelque chose ne colle pas depuis le départ. De mon côté, je suis parfois capable de faire n'importe quoi et cela a été effectivement le cas (une erreur de programmation i.e. une programmation non assez défensive). De ton côté, je ne comprends pas ton $M \mapsto (H^*)^{-1} M H$ et ce depuis le début.
$$
M\mapsto (H^{-1})^*MH^{-1}
$$
A preuve, une deuxième once de contexte.
Si on développe (avec $\sqrt{2}$ et $i$...)
$$
\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2}( x-iy) & (x-iy)^2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \rho & \sqrt{2}\overline{a} & \overline{b} \\ \sqrt{2}a & \sigma & \sqrt{2}\overline{c} \\ b & \sqrt{2}c & \tau \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2}( x+iy) \\ (x+iy)^2 \end{pmatrix} = 0
$$
que l'on peut abréger par $z^*\,Mz=0$, on trouve quelque chose du genre
$$
a_{22}(x^2+y^2)^2 + (a_{21}x + a_{12}y)(x^2+y^2) + a_{20}x^2 + a_{11}xy + a_{02}y^2 + a_{10}x + a_{01}y + a_{00} = 0
$$
où les $a_{ij}$ dépendent des entrées de $M$, càd. l'équation d'une quartique bicirculaire. C'est le moyen d'étudier ces courbes dans le cadre du plan inversif et de regarder leurs orbites sous l'action du groupe de Mœbius.
Avec des coordonnées homogènes $z_0$ et $z_1$ telles que $a+bi=z=z_1/z_0$ on a
$$
\begin{pmatrix} z_0^2 \\ \sqrt{2}z_0z_1 \\ z_1^2 \end{pmatrix}^*\;
\begin{pmatrix} \rho & \sqrt{2}\overline{a} & \overline{b} \\ \sqrt{2}a & \sigma & \sqrt{2}\overline{c} \\ b & \sqrt{2}c & \tau \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} z_0^2 \\ \sqrt{2}z_0z_1 \\ z_1^2 \end{pmatrix} = 0
$$
qui s'abrège $z^*Mz=0$.
L'image de cette quartique bicirculaire par une homographie représentée par la matrice $3\times 3$ $H$ de $SL(3,C)$ a pour équation $z^*(H^{-1})^*MH^{-1}z=0$
D'où l'intérêt des invariants polynomiaux.
Le résultat de l'étude : Dégénérescences et courbes de degré $\leq 2$ mis à part, on trouve dans l'orbite de toute quartique bicirculaire une quartique bicirculaire bicarrée dont l'équation cartésienne est
$$
a_{22}(x^2+y^2)^2 + a_{20}x^2 + a_{02}y^2 + a_{00} = 0
$$
qui a 1 ou 2 composantes connexes.
Navré pour l'erreur du début.
$$HK=I_n \Rightarrow K^* H^*=I_n\;.$$
PS. et $(H,M) \mapsto (H^{-1})^* M H^{-1}$ définit bien une honnête action, non ?
Le $ ^*$ est indispensable vu la définition des courbes.
Vu.
$$e=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad h=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad f=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},$$
et on a : $[h,e]=2e$, $[h,f]=2f$ et $[e,f]=h$. Les polynômes que considère soland forment l'algèbre symétrique $S(\mathfrak{g})$ de cette représentation et c'est l'algèbre graduée associée à l'algèbre enveloppante $U(\mathfrak{g})$. L'invariant de degré $2$ est l'image du Casimir $h^2/2+ef+fe$ (élément central de l'algèbre de Lie qui n'est pas sans rappeler l'identité quand on le regarde comme il faut). Plus généralement, l'algèbre des invariants $S(\mathfrak{g})^\mathfrak{g}$, qui est l'image du centre $Z(\mathfrak{g})$ de $U(\mathfrak{g})$, est une algèbre de polynômes engendrée par l'invariant de degré $2$.
Pour $\mathfrak{sl}_n(\C)$ on trouve $n-1$ générateurs algébriquement indépendants. Pour une algèbre de Lie semi-simple, c'est toujours une algèbre de polynômes d'après un théorème de Chevalley.
Merci.
PS. Une référence ?
NB : On voit apparaître le Casimir, qui agit comme le laplacien $\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2$ : c'est le « dual » de $r^2$ (sens : les opérateurs différentiels ont un ordre ; le quotient des opérateurs d'ordre $2$ par les opérateurs d'ordre $\le1$ est un espace isomorphe au dual des polynômes de degré $2$).
Je vais essayer de faire apparaître explicitement $\mathrm{PSL}_2(\C)$ (sans doute comme $\mathrm{SO}_3(\C)$) au lieu de $\mathfrak{sl}_2(\C)$ à partir de la question initiale mais il faut calculer un peu.