Vous posez-vous cette question ?

Bonjour,

Je me dis :
- La solution est « dans le problème ».
Je regarde et envisage bien le problème.
- Quelles sont les différentes façons d’aborder le problème ?
Un théorème, un algorithme, la géométrie, du calcul, etc.
- Quelle est la solution du problème si on le simplifie ?
Dimension $1$ pour les matrices, élimination des non linéarités, substitution d’une fonction par une autre…
- Quelle est la forme la plus générale du problème ?
- Qu’est-ce qui rend ce problème difficile ?
Je ne comprends pas l’énoncé, les calculs semblent inextricables, l’approche usuelle prend des jours de calcul, …
- Quelle est la solution approximative du problème ?
La racine du polynôme est dans $[0,1]$, la solution permanente de l’équation différentielle est…

Puis je me lance.

Ok. Je comprends ce que tu veux dire.
C’est vrai qu’on a déjà lu ici que « $2\times 7$ n’est pas un entier ».

Même avec cet entonnoir (***ceux qui savent ça !), mon exemple reste valable : on ne sait pas pourquoi l’élève y a pensé.
J’entends « penser à utiliser un truc que tout*** le monde sait ».

Je préfère : '14 est le double de 7 '

D'où viennent les idées. ?
Tu parles de résoudre un problème de maths .. donc un problème qui a une solution, connue par le type qui a rédigé le problème.

L'idée vient beaucoup de l'expérience. Quand on a mangé plein d'exercices, en commençant par les plus simples, pour faire de plus en plus compliqué, on a couvert plein de configurations.
Et on peut souvent se raccrocher à un exercice un peu similaire.
Mais pour ça, il faut avoir fait tout le travail de préparation, il faut avoir fait soi-même tous les exercices. Ca ne sert à rien si on a lu des corrigés, ou si on a fait faire les exercices par quelqu'un d'autre.
On ne mémorise une technique que si on l"a vraiment mise en pratique, soi-même.
Le vélo, ça ne s'oublie pas, à condition d'avoir fait soi-même du vélo. Si on a simplement vu quelqu'un faire du vélo, ça ne sert à rien.
Les maths, c'est pareil.
Dédicace à un ami.

Le plus souvent, une idée, c'est en fait un souvenir.

Sur certains exercices, (plus des exercices de la vraie vie, des questions de dénombrements par exemple, ou des exercices de type 'problème ouvert', moins scolaire), j'aime beaucoup prendre du recul.
Je lis l'énoncé, je cherche.

Puis je laisse tomber. Je pars faire un footing (sans musique, sans rien pour me perturber), et là, à un moment ou un autre, je vais me mettre à cogiter sur cet exercice, et la lumière peut jaillir.

Pour pouvoir être efficace, il faut avoir lu et relu l'énoncé. Il faut le connaître par coeur, il faut que l'énoncé soit 'stocké en mémoire vive'.
Si on a besoin de relire l'énoncé pour vérifier telle ou telle partie de l'énoncé, on n'est pas dans de bonnes conditions.
Le cerveau est comme un ordinateur. Si toutes les informations sont en mémoire vive, c'est performant. Si les informations sont sur une base de donnée distante, les traitements sont plus longs.
Et donc il faut s'imposer cette discipline : je lis l'énoncé, je mémorise bien chaque information utile. Puis je ferme le bouquin, et je cherche.

Des fois, je tombe sur des exercices qui sont censés être à ma portée et a priori pas trop durs, et je n'arrive juste pas à "voir le truc". Quand je regarde l'explication, je comprends tout de suite, mais le souci est en fait ailleurs.

Typiquement, la présentation du problème va m'inciter à utiliser un résultat précis, ou va me faire penser à 1-2 méthodes précises, parce que ça ressemble beaucoup à quelque chose qui me rappelle vaguement un truc. Alors je me dis "tel truc doit forcément marcher" et je finis focalisé sur l'idée que j'ai la bonne méthode, mais que je suis juste trop nul pour voir le détail qui fait qu'elle marche... alors qu'en fait ça ne marche pas du tout et il faut utiliser une autre méthode. Je finis tellement happé par le sentiment que c'est obligé que le truc 1 marche que j'en perds la capacité à envisager le truc 2.

Tiens, à ce propos... quand considérez-vous que vous "maîtrisez" un sujet ?

Par exemple, je me trouve généralement à l'aise en algèbre linéaire, mais il y a toujours des exercices d'algèbre linéaire face auxquels je n'ai aucune idée immédiate de la bonne méthode, où j'ai besoin de prendre mon temps et de réfléchir, d'essayer, de bidouiller. Pareil pour l'analyse réelle, il y a toujours des choses où je ne sais pas "tout faire" alors que je comprends bien les concepts et que je connais les théorèmes.

En résumé, il est toujours possible de fabriquer des sujets d'exam de niveau L2, ou des sujets de concours de fin de prépa, auxquels je n'aurai probablement pas 20/20, alors que j'ai un bac+5 en maths pures. Faudrait-il que je continue à bosser ces choses-là pour me considérer comme un "bon" mathématicien (amateur...), ou vaut-il mieux que je m'en fiche et que je continue à diversifier ma culture mathématique ? Par exemple, là je me réintéresse un peu à la géométrie algébrique, pour essayer de comprendre les concepts de base-base. Ben rien que ça, ça me fait travailler l'algèbre commutative "par morceaux" au-delà de ce que j'ai appris en Licence, donc je comble des lacunes de niveau Licence en faisant des choses de niveau M2. Je trouve ça plus intéressant comme ça, en tout cas.

Oui... c'est probablement une question de confiance en soi plus qu'autre chose.