Gebrane
Réponses
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Mais je ne suis pas gebrane! ._.'
PS : francophone c'est bien qui n'est pas français mais dans un pays qui parle français ?
Je ne vois pas en quoi c'est une coïncidence...Je suis donc je pense -
Moi je suis bien triste que Gebrane ne soit plus là, car ses interventions étaient intéressantes, et j'espère qu'il ne lui est rien arrivé de grave.
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Et je ne suis point diabolique
(message en même temps)Je suis donc je pense -
moi aussi je suis très triste :-XJe suis donc je pense
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Francophone c'est quelqu'un qui parle le français, tu m'as tout l'air d'être francophone, même si tu ne vis pas en France.
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Ah ben je suis francophone et je vis en France.Je suis donc je pense
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Gebrane reviendra peut-être après de longues vacances fabuleuses, on le lui souhaite (et effectivement, ses interventions font partie de la vie du forum).
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J'espère que notre cher Gebrane va bien!
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il ne s'est toujours pas reconnecté récemment?Je suis donc je pense
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Hélas, gebrane ne s'est pas connecté depuis le 25 juillet.
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Effectivement, triste que tout cela...
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Oui, c'est assez inquiétant ...
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Bonjour à tous et à toutes.
Mon absence était due à un problème de santé post vaccinale (je ne suis pas sûr), c'est le syndrome de paralysie de Bell. Maintenant je vais bien pour reprendre mes activités et ma passion envers les mathématiques step by step. Pendant ce temps, je n'ai pas pu consulter mes mp, donc désolé si vos messages sont restés sans réponses. Merci à tous.Le 😄 Farceur -
Salut gebrane et bon retour parmi nous !
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Merci PM. je constate que le forum est repeint.n génialLe 😄 Farceur
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gebrane, @Quentino37 n'arrêtait pas de chialer 😁 car tu avais disparu. J'avais fini par t'envoyer également un message privé. Bon retour.
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Voici une petite intégrale pour ton retour : \[\int_1^{+\infty}\dfrac{\left\{e\lfloor x\rfloor!\right\}}{\lfloor x\rfloor!}dx\]
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Merci raoul
En lisant les messages, je constate que Quentino37 s’inquiétait le plus sur ma disparition.
Question où sont passés les mp ( messages privés) ?
MP là tu tapes vraiment fort, cette intégrale me fait peur à première vue.Le 😄 Farceur -
Content de savoir que tu vas mieux.
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Bon retour Gebrane. Tes anciens mp ne sont pour le moment pas disponibles mais si j'ai bien suivi :> ils ne sont pas perdus;> La technique travaille sur leur disponibilité.
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Salut Gebrane !
Quel grand plaisir de te retrouver !
Cordialement. -
Salut Gebrane,
J'avais regardé tes dernières connexions sur le nouveau site et je m'étais réjoui de voir que c'était fin octobre.
C'est génial que tu sois de nouveau parmi nous.
Bon rétablissement !
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Bonjour Gebrane , un grand plaisir de te retrouver . J'espère que tu iras de plus en plus mieux.
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Cher Gebrane, je te souhaite aussi beaucoup de courage et un prompt rétablissement. J'espère te lire sur le forum.Jean-Etienne
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Bon retour parmi nous, et bravo d'avoir surmonté ces épreuves.
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Oui ça fait plaisir de retrouver Gebrane. Moi aussi j'ai été absent quelques mois il y a trois ans pour raison de santé et j'espère pour Gebrane une issue aussi favorable que l'a été la mienne.L'intégrale de Philippe Malot est pittoresque, c'est une série déguisée, plus précisément une série de restes. Je trouve $1$, mais c'est peut-être faux...
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Bonjour Gebrane, le forum se réjouit de te voir guéri... intégralement. Pour la colle ci-dessus j'ai voulu remplacer $\{en!\}$ par $\{e^an!\}$ avec $a$ entier, mais je m'y casse les dents. Pour $a=1$ je ne trouve pas la même chose que Chaurien.Pour $x\geq 0$ on note $[x]$ le plus grand entier $\leq x$ et $\{x\}=x-[x].$ Soit $a>0$.
Il est clair que $$ S_a=\int_0^{\infty}\frac{\{e^a [x]!\}}{[x]!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\{e^a n!\}}{n!}.$$ Pas réussi à calculer $S_a$. On se contente donc de l’énoncé et de $S_1$. Pour le calculer on a besoin de la formule suivante, facile à vérifier par dérivation en $s>0$, et vraie pour $n\geq 0:$
$$e^{-s}\left(1+s+\frac{s^2}{2!}+\cdots+\frac{s^n}{n!}\right)=\int_s^{\infty}e^{-t}\frac{t^n}{n!}dt.\qquad (*).$$ $ (*)$ montre que la suite
$u_n=n!\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}=\int_0^1e^{1-t}t^ndt$ est décroissante. Comme $u_0=e-1,\ u_1=e-2<1$ et puisque $n!e-u_n$ est entier on a donc
$$S_1=e-2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{n!}=e-2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_0^1e^{1-t}t^ndt=e-2+\int_0^1e^{1-t}(e^t-1)dt=e-1.$$
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Comme j'ai dit, j'ai ramené ce calcul à une somme de série.Soit $I=\int_{1}^{+\infty }\frac{\left\{ e\left\lfloor x\right\rfloor !\right\} }{\left\lfloor x\right\rfloor !}dx=\sum_{n=1}^{+\infty }I_{n}$, avec : $I_{n}=\int_{n}^{n+1}\frac{\left\{ e\left\lfloor x\right\rfloor !\right\} }{\left\lfloor x\right\rfloor !}dx=\frac{\left\{ n!e\right\} }{n!}$.On a : $e=s_{n}+r_{n}$, avec : $s_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ et $r_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k!}$, d'où : $n!e=n!s_{n}+n!r_{n}$.Comme $n!s_{n}$ est un nombre entier et que $n!r_{n}$ est un réel situé dans $]0,1[$, on a : $n!r_{n}=\left\{ n!e\right\} $, d'où : $I_{n}=r_{n}$.C'est pourquoi je parlais d'une série de restes, car il vient : $I=\sum_{n=1}^{+\infty }r_{n}$.Si l'on pose : $u_{n}=\frac{1}{n!}$, alors : $r_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty }u_{k}$, et on pense au théorème sur les séries de restes, dont on a maintes fois parlé sur ce forum, et qui a des conséquences en calcul des probabilités : $\sum_{n=0}^{+\infty }r_{n}=\sum_{n=0}^{+\infty }nu_{n}$.On termine par : $\sum_{n=0}^{+\infty }nu_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n}{n!}$$=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac 1{(n-1)!}=e$, et : $I= \sum_{n=1}^{+\infty }r_{n}=(\sum_{n=0}^{+\infty }r_{n})-r_{0}=e-(e-1)=1$.
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Salut Gebrane, bon retour !
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Le désaccord avec P. vient peut-être de ce que l'intégrale proposée par Philippe Malot part de $1$, et moi j'obéis, alors que P. fait partir la sienne de $0$.
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Content de te revoir gebrane, j'espère que tes problèmes de santé s'estomperont rapidement.
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Un grand Merci à tous., c'est très réconfortant de se sentir apprécié par les membres de cette grande famille.
Je trouve l'intégrale de PM très intéressante et riche avec les idées de mes chers Chaurien et P.Le 😄 Farceur -
En voyant la nouvelle version je suis tombé par hasard sur ce fil.Bon courage Gebrane et prompt rétablissement complet.
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Pour suivre l'idée de P. je trouve avec a=-1 en partant de 1 dans l'intégrale sauf erreur: (e-3/e)/2 mais rien pour d'autres "a" entiers relatifs.
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Chaurien, tout à fait d'accord. Heu, pourquoi $n!r_n<1$ te parait-il évident ? Une difficulté de cette nature apparaît dans la généralisation avec $\{e^an!\}$ et $a$ entier $>0$ mentionnée plus haut.
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Bonne question. Majoration géométrique pour $n \ge 1$ :$r_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k!}=\frac{1}{(n+1)!}(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+...)$$~~~~~~~~~~<\frac{1}{(n+1)!}(1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+...)$$=\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n\cdot n!}$.Peut servir aussi pour un équivalent du reste.
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Ce que dit Chaurien m'incite à penser qu'on peut généraliser de la sorte : si $f(a)=\sum_{n\geq0}\left\{ e^{a}n!a^{-n}\right\} \frac{a^{n}}{n!}$, on a pour $a=\frac{1}{m} $ et $m\geq2$ entier $f(a)=ae^{a}$.
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À noter la jolie formule $$\sum_{n\geq0}\frac{\left\{ \cosh(1)(2n)!\right\} }{(2n)!}=\frac{\sinh(1)}{2}.$$
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Bonsoir @Chaurien, j'ai procédé de la même façon que toi pour calculer cette intégrale.
Elle est dans le livre Sharpening Mathematical Analysis Skills dont on a parlé récemment, dans la catégorie Challenges, Gems and Mathematical Beauties. Elle fait partie de ce qu'on appelle les "Sophomore's Dream for Integrals", à savoir les intégrales du type $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)dx=\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)$. -
On peut préciser que la suite $n!\,r_n$ est décroissante, d'où pour $n \ge1$ : $n!\,r_n \le 1!\,r_1=e-2 \simeq 0,718$.
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Bonjour Gebrane !Vraiment heureux de savoir que tu vas mieux et que tu vois le bout du tunnel !Quant à l'intégrale, j'avoue que ce n'est pas mon truc ... je suis plutôt "géométrie de papa" !Bien cordialement JLB
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Bon retour @gebrane!
Je suis donc je pense -
Merci Quentino37 , tu es mon champion. En fait, je ne sais pas pourquoi raoul.S a cru que nous étions 2 en 1 . Le croit-il toujours ?
Le 😄 Farceur -
gebrane a dit :Merci Quentino37 , tu es mon champion. En fait, je ne sais pas pourquoi raoul.S a cru que nous étions 2 en 1 . Le croit-il toujours ? De rien! Heu... je ne sais pas si raoul.S le croit toujours! Je suis donc je pense
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Donne 3 bons arguments prouvant que l'on est la même personnes? Je suis donc je pense
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@Quentino37 je n'arrive pas à me décider, dans certains modèles vous êtes la même personne et dans d'autres non 🤔.
Par contre dans tous les modèles votre maîtrise de l'orthographe française est sensiblement la même... 😁
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