Gebrane reviendra peut-être après de longues vacances fabuleuses, on le lui souhaite (et effectivement, ses interventions font partie de la vie du forum).
Bonjour à tous et à toutes. Mon absence était due à un problème de santé post vaccinale (je ne suis pas sûr), c'est le syndrome de paralysie de Bell. Maintenant je vais bien pour reprendre mes activités et ma passion envers les mathématiques step by step. Pendant ce temps, je n'ai pas pu consulter mes mp, donc désolé si vos messages sont restés sans réponses. Merci à tous.
Merci raoul En lisant les messages, je constate que Quentino37 s’inquiétait le plus sur ma disparition. Question où sont passés les mp ( messages privés) ? MP là tu tapes vraiment fort, cette intégrale me fait peur à première vue.
J'avais regardé tes dernières connexions sur le nouveau site et je m'étais réjoui de voir que c'était fin octobre. C'est génial que tu sois de nouveau parmi nous.
Oui ça fait plaisir de retrouver Gebrane. Moi aussi j'ai été absent quelques mois il y a trois ans pour raison de santé et j'espère pour Gebrane une issue aussi favorable que l'a été la mienne.
L'intégrale de Philippe Malot est pittoresque, c'est une série déguisée, plus précisément une série de restes. Je trouve $1$, mais c'est peut-être faux...
Bonjour Gebrane, le forum se réjouit de te voir guéri... intégralement. Pour la colle ci-dessus j'ai voulu remplacer $\{en!\}$ par
$\{e^an!\}$ avec $a$ entier, mais je m'y casse les dents. Pour $a=1$ je
ne trouve pas la même chose que Chaurien.
Pour $x\geq 0$ on note $[x]$ le plus grand entier $\leq x$ et $\{x\}=x-[x].$ Soit $a>0$.
Il est clair que $$ S_a=\int_0^{\infty}\frac{\{e^a
[x]!\}}{[x]!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\{e^a n!\}}{n!}.$$ Pas réussi à
calculer $S_a$. On se contente donc de l’énoncé et de $S_1$. Pour le
calculer on a besoin de la formule suivante, facile à vérifier par dérivation en $s>0$, et vraie pour $n\geq 0:$
$$e^{-s}\left(1+s+\frac{s^2}{2!}+\cdots+\frac{s^n}{n!}\right)=\int_s^{\infty}e^{-t}\frac{t^n}{n!}dt.\qquad (*).$$ $ (*)$ montre que la suite
$u_n=n!\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}=\int_0^1e^{1-t}t^ndt$ est décroissante. Comme $u_0=e-1,\ u_1=e-2<1$ et puisque $n!e-u_n$ est
entier on a donc
On a : $e=s_{n}+r_{n}$, avec : $s_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ et $r_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k!}$, d'où : $n!e=n!s_{n}+n!r_{n}$.
Comme $n!s_{n}$ est un nombre entier et que $n!r_{n}$ est un réel situé dans $]0,1[$, on a : $n!r_{n}=\left\{ n!e\right\} $, d'où : $I_{n}=r_{n}$.
C'est pourquoi je parlais d'une série de restes, car il vient : $I=\sum_{n=1}^{+\infty }r_{n}$.
Si l'on pose : $u_{n}=\frac{1}{n!}$, alors : $r_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty }u_{k}$, et on pense au théorème sur les séries de restes, dont on a maintes fois parlé sur ce forum, et qui a des conséquences en calcul des probabilités : $\sum_{n=0}^{+\infty }r_{n}=\sum_{n=0}^{+\infty }nu_{n}$.
On termine par : $\sum_{n=0}^{+\infty }nu_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n}{n!}$$=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac 1{(n-1)!}=e$, et : $I= \sum_{n=1}^{+\infty }r_{n}=(\sum_{n=0}^{+\infty }r_{n})-r_{0}=e-(e-1)=1$.
Le désaccord avec P. vient peut-être de ce que l'intégrale proposée par Philippe Malot part de $1$, et moi j'obéis, alors que P. fait partir la sienne de $0$.
Un grand Merci à tous., c'est très réconfortant de se sentir apprécié par les membres de cette grande famille. Je trouve l'intégrale de PM très intéressante et riche avec les idées de mes chers Chaurien et P.
Chaurien, tout à fait d'accord. Heu, pourquoi $n!r_n<1$ te parait-il évident ? Une difficulté de cette nature apparaît dans la généralisation avec $\{e^an!\}$ et $a$ entier $>0$ mentionnée plus haut.
Ce que dit Chaurien m'incite à penser qu'on peut généraliser de la sorte : si $f(a)=\sum_{n\geq0}\left\{ e^{a}n!a^{-n}\right\} \frac{a^{n}}{n!}$, on a pour $a=\frac{1}{m} $ et $m\geq2$ entier $f(a)=ae^{a}$.
Bonsoir @Chaurien, j'ai procédé de la même façon que toi pour calculer cette intégrale. Elle est dans le livre Sharpening Mathematical Analysis Skills dont on a parlé récemment, dans la catégorie Challenges, Gems and Mathematical Beauties. Elle fait partie de ce qu'on appelle les "Sophomore's Dream for Integrals", à savoir les intégrales du type $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)dx=\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)$.
Ce que dit Chaurien m'incite à penser qu'on peut généraliser de la sorte : si $f(a)=\sum_{n\geq0}\left\{ e^{a}n!a^{-n}\right\} \frac{a^{n}}{n!}$, on a pour $a=\frac{1}{m} $ et $m\geq2$ entier $f(a)=ae^{a}$.
@Quentino37 je n'arrive pas à me décider, dans certains modèles vous êtes la même personne et dans d'autres non 🤔. Par contre dans tous les modèles votre maîtrise de l'orthographe française est sensiblement la même... 😁
Réponses
PS : francophone c'est bien qui n'est pas français mais dans un pays qui parle français ?
Je ne vois pas en quoi c'est une coïncidence...
(message en même temps)
Mon absence était due à un problème de santé post vaccinale (je ne suis pas sûr), c'est le syndrome de paralysie de Bell. Maintenant je vais bien pour reprendre mes activités et ma passion envers les mathématiques step by step. Pendant ce temps, je n'ai pas pu consulter mes mp, donc désolé si vos messages sont restés sans réponses. Merci à tous.
En lisant les messages, je constate que Quentino37 s’inquiétait le plus sur ma disparition.
Question où sont passés les mp ( messages privés) ?
MP là tu tapes vraiment fort, cette intégrale me fait peur à première vue.
Quel grand plaisir de te retrouver !
Cordialement.
J'avais regardé tes dernières connexions sur le nouveau site et je m'étais réjoui de voir que c'était fin octobre.
C'est génial que tu sois de nouveau parmi nous.
Bon rétablissement !
Il est clair que $$ S_a=\int_0^{\infty}\frac{\{e^a [x]!\}}{[x]!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\{e^a n!\}}{n!}.$$ Pas réussi à calculer $S_a$. On se contente donc de l’énoncé et de $S_1$. Pour le calculer on a besoin de la formule suivante, facile à vérifier par dérivation en $s>0$, et vraie pour $n\geq 0:$
$$e^{-s}\left(1+s+\frac{s^2}{2!}+\cdots+\frac{s^n}{n!}\right)=\int_s^{\infty}e^{-t}\frac{t^n}{n!}dt.\qquad (*).$$ $ (*)$ montre que la suite
$u_n=n!\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}=\int_0^1e^{1-t}t^ndt$ est décroissante. Comme $u_0=e-1,\ u_1=e-2<1$ et puisque $n!e-u_n$ est entier on a donc
$$S_1=e-2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{n!}=e-2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_0^1e^{1-t}t^ndt=e-2+\int_0^1e^{1-t}(e^t-1)dt=e-1.$$
Je trouve l'intégrale de PM très intéressante et riche avec les idées de mes chers Chaurien et P.
Elle est dans le livre Sharpening Mathematical Analysis Skills dont on a parlé récemment, dans la catégorie Challenges, Gems and Mathematical Beauties. Elle fait partie de ce qu'on appelle les "Sophomore's Dream for Integrals", à savoir les intégrales du type $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)dx=\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)$.
Par contre dans tous les modèles votre maîtrise de l'orthographe française est sensiblement la même... 😁