Conseil pour la recherche
Bonjour a tous, j'espère que vous vivez bien,
je m'adresse à ceux qui font de la recherche ( dans tout type de domaine ).
Depuis quelques temps, je me dis qu'il faut que je fasse de la recherche en mathématique,
Pouvez vous me donner des conseils ( dans par exemple de la démonstration de théorème ) ?
Merci
je m'adresse à ceux qui font de la recherche ( dans tout type de domaine ).
Depuis quelques temps, je me dis qu'il faut que je fasse de la recherche en mathématique,
Pouvez vous me donner des conseils ( dans par exemple de la démonstration de théorème ) ?
Merci
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Réponses
tu n'aurais pas un lien de parenté avec un dénommé pablo_de_retour par hasard ?
Bah qui sait, s'il passe par ici il pourra te conseiller convenablement étant donné qu'il recherche et qu'il trouve surtout.
Bonne chance à toi.
De plus, je ne sais pas si tu es au courant, mais il y a beaucoup de personnes qui caressent un espoir de transcendance, de célébrité, de richesse en faisant des maths en amateur et qui se lancent dans cette voie ; c'est probablement un très mauvais calcul car on n'a jamais vu (enfin je crois) de telle personne réussir. Alors bon, vu qu'on ne sait pas qui tu es ni d'où tu viens (je parle de prérequis, pas de géographie), on ne sait pas trop tes motivations.
J'attends de voir ta preuve du théorème de Fermat-Willes. (:P) Et même sans aller jusqu'à cette extrémité, démontrer un théorème déjà existant est assez souvent difficile sans indication (édit : dans un temps raisonnable, disons sous le format d'un exercice).
Théorème : le théorème de Fermat-Wiles est vrai.
Démonstration : On sait que le théorème de Fermat-Wiles est vrai. Donc le théorème de Fermat-Wiles est vrai.
Pourrais-je te citer comme argument d'autorité quand j’emploierai cette technique de démonstration dans de futur interrogations orales ?
Voila...
Si tu veux apprendre à démontrer des choses pour commencer à faire des "vraies maths" c'est très bien. Moi, je te dirais : demande plutôt ce qui existe comme bons livres pour commencer à t'auto-former en mathématiques du supérieur, et prends-toi comme challenge d'essayer de faire les démonstrations des théorèmes du bouquin, dans l'ordre, en y réfléchissant toi-même au lieu/avant de les lire.
Personnellement, je te dirais bien de commencer par un livre sur la logique formelle et la théorie des ensembles, puisque la base des maths du supérieur c'est ça, mais en seconde je ne sais pas si c'est une très bonne idée. A méditer.
tu peux peut-être commencer par ici. Cours > Partie I: Les fondements pour en savoir plus sur les démonstrations dans le supérieur.
Decade Of The Berkeley Math Circle , volume 1 et 2
https://www.amazon.fr/gp/product/B01JNZJS9G/ref=dbs_a_def_rwt_bibl_vppi_i1
https://www.amazon.fr/gp/product/0821849123/ref=dbs_a_def_rwt_bibl_vppi_i2
Théorème : il n'existe pas de couple $(a,b) \in \mathbb{N}^*$ tel que $a^3 + b^3 = 1728$.
Démonstration : $1728 = 12^3$. Or, d'après le théorème de Fermat, il n'existe pas de triplet $(a,b,c) \in \mathbb{N}^*$ tel que $a^3 + b^3 = c^3$ et donc, a fortiori, il n'existe pas de couple $(a,b) \in \mathbb{N}^*$ tel que $a^3 + b^3 = 12^3$.
Tu acceptes ce raisonnement ? Si oui, tu ne peux pas refuser l'autre !
@Mon_Crabe : Ah d'accord ! Ok, ben, es-tu au courant de ce que veut dire le mot "démonstration" ? En fait, au collège et au lycée, on fait une discipline qui ressemble aux maths mais qui n'en est pas. Pour de vrai, faire des mathématiques, c'est faire des démonstrations, ni plus, ni moins. Mais en général, personne, dans le supérieur, ne va s'attendre à ce que tu saches démontrer tout tout seul sans inspiration ni indication. Est-ce que tu peux nous dire ce que tu entends par "recherche" ? Et est-ce que tu peux préciser tes intentions ? Tu veux t'avancer sur les maths que tu verras peut-être dans l'enseignement supérieur ? Tu veux t'amuser ?
https://www.laculturegenerale.com/quelque-temps-orthographe/
@Mon_Crabe : Est-ce que tu sais démontrer que dans toute foule, il existe une personne telle que si elle porte un chapeau, alors tout le monde porte un chapeau ?
Sinon, le problème de ce cours c'est qu'il requiert certaines connaissances j'ai l'impression. Par exemple l'auteur parle de corps bien avant d'avoir défini ce que c'est. Mais les trois premiers chapitres m'ont semblé abordable même sans connaissance particulière. Il s'agit juste d'une proposition de ma part, ce n'est peut-être pas la meilleure!
@Mon_Crabe : Ah ben si c'est Ulm qui t'intéresse... Ben le meilleur conseil que je puisse te donner, c'est de prendre un polycopié de prépa ou de fac, d'un premier cours d'analyse ou d'algèbre, de le lire, et de ne jamais (c'est très important) te dire "oh je crois que j'ai compris". A tout moment, tu dois être sûr.e d'avoir compris tout ce que tu as lu (ou alors te dire que tu acceptes sans avoir compris mais que tu reviendras dessus un autre jour parce que tu en as marre). En fait, il est possible que l'enseignement secondaire t'ait inculqué des idées fausses sur les maths, et si tu veux aller à Ulm il vaut mieux débusquer ces idées fausses et les éradiquer de ton cerveau. De plus, trouve-toi quelqu'un qui a réussi en maths dans le supérieur et à qui tu puisses soumettre des rédactions que tu ferais pour t'entraîner et qui te corrigerait. Le forum est un bon endroit pour ça ! Bref, mon conseil c'est surtout d'éviter une erreur : de croire qu'on a compris alors qu'on a pas compris. Pour ça il faut lutter contre soi-même, et parfois on a besoin que d'autres personnes nous montrent nos erreurs parce qu'on a trop d'orgueil pour les voir !
EDIT :
@arroyo : Ben définir "il existe" par "il existe" c'est bof. En fait, quand je vois les micmacs que font certaines personnes avec les variables liées ou pas, et que je vois le peu de temps que Troesch y consacre dans ce poly... Christophe c a dit un jour qu'il y avait deux catégories de personnes : celles qui comprennent le langage mathématique toutes seules et qui ont de bons résultats en maths sans faire trop d'efforts, et celles qui ne le comprennent pas, travaillent beaucoup et ont des mauvaises notes. J'adhère à cette idée. Et, partant de là, je me dis que ce préambule de Troesch n'aidera personne : les personnes de la première catégorie n'en ont pas besoin, et les autres ne retireront rien de quelques définitions (quand je dis "rien", c'est "rien d'opérationnel" : c'est comme si pour expliquer la règle des échecs tu disais que les fous bougent à leur image, de manière bizarre, ni en ligne, ni en colonne, blablablabla ; les personnes qui savent déjà comment bouger un fou font "oui oui" et les autres, ça ne leur sert à rien parce que ça ne leur permet pas de savoir comment bouger leur fou, et elles essaient de le bouger comme un cavalier, et on leur dit "non, un fou ne bouge pas comme ça", et ça dure pendant des années où, au mieux, elles finissent par y arriver trois fois sur quatre en ayant à chaque fois la peur au ventre de ne pas bouger correctement le fou, et au pire, y arrivent une fois sur quatre et se contentent de cette situation).
(en l'occurrence, j'ai jeté un oeil à la définition 1.1.9, et malheureusement : il n'y a pas d'autre définition par des mots de $\forall$ et $\exists$ (la seule autre manière de leur donner un sens c'est par des règles formelles, qui n'ont bien entendu par leur place en sup))
(pour ta question après sur la finitude : je te suggère de réfléchir à ce que peut vouloir dire fini en intuitionniste ;-) et puis même avec ça en tête, d'essayer de prouver ton résultat, tu verras que ce n'est pas si évident (:P) - j'avais parlé d'un truc similaire "récemment" à propos du fait qu'un ensemble ordonné fini a toujours un élément maximal : intuitionnistement...)
arroyo : même remarque - en principe ces passages sont accompagnées d'une explication orale
(tiens, d'ailleurs je viens de me souvenir qu'on m'avait parlé de corps en terminale )
Mon_Crabe : vouloir faire des maths est une belle ambition. Tu dis avoir le niveau fin de terminale spé maths, ça peut être un bon moment effectivement pour commencer à réfléchir un peu de ton côté à des vraies démonstrations.
Personnellement, la matière que je trouve la plus formatrice pour apprendre à démontrer, c'est l'arithmétique (au programme de spé maths si je ne m'abuse), dans mon esprit ce sont les premières démonstrations que j'aie jamais faites. En conséquence, je te conseillerais d'essayer de revoir un peu ce programme d'arithmétique en spé maths et d'essayer de tout (re?)démontrer; avec comme unique axiome le principe de récurrence.
Tu verras alors quels types de raisonnements te posent encore problème etc. et je pense que tu seras alors beaucoup plus proche de comprendre ce qu'est une démonstration. Tu pourras en particulier t'appuyer sur le forum, s'il y a des points peu clairs, ou des incompréhensions : poser des questions ici, et obtenir des réponses adaptées.
Je me prononçais juste sur l'utilité de lire le poly en seconde, dans l'éventualité où on ne maîtrise pas le langage mathématique a priori :-)
Je continue de réfléchir à la personne au chapeau.
C'est exagéré, mais ç'a une part de vrai (et j'aime bien la façon dont c'est formulé). En fait ce sont des maths Canada Dry ! Les maths de secondaire sont dorées comme des maths, leur nom sonne comme un nom mathématique… mais ce ne sont pas des maths. ;-)
Vous pouvez peut être commencer par les MOOC de FUN de la collection mathématiques.
1 - Dérivation et étude de fonctions
Cordialement,
Geodingus
Je te conseille de te tourner vers les olympiades de mathématiques.
Tout dépend d'où tu habites, il y a même des clubs pour préparer les olympiades, comme le club de mathématiques discrètes à Lyon.
Tu pourras remarquer que un certains nombres de personnes ayant intégrer ULM ont fait des préparations pour les olympiades, c'est très formateur.
Je digresse un peu, mais si l'on reformule ton premier message en un message du genre
"Quelles choses formatrices puis-je faire pour intégrer ULM, sachant que je suis en seconde et que je connais le programme de maths du lycée ?"
Je te conseillerais aussi de t'amuser à t'initier au Competitive Programming.
En gros, c'est comme s'initier aux olympiades de maths, mais en informatique.
Il y a plein de sites très bien pour cela et qui entraînerons ta réflexion mathématique, comme CodeForce en anglais ou bien France-ioi en français.
Mais encore une fois, je digresse peut-être.
toujours est-il qu'on dépassait un peu le programme par moments, et j'appréciais bien cet aspect-là.
Georges : c'est vrai que la version théorie des jeux des quantificateurs est bien, "moi vs le diable" (si j'ai un $\exists$, c'est moi qui joue, un $\forall$, c'est le diable qui m'impose son désir). ça revient essentiellement à ce qu'écrit Troesch plus loin, et c'est la version informelle de la version "preuve formelle".
Je l'aime bien, mais je ne suis pas sûr que ce soit bien de l'introduire comme ça - j'ai l'impression qu'il faut dire que c'est "pour tout" et "il existe", et après expliquer comment on prouve après (un peu comme quand tu définis des objets mathématiques : tu dis de qui il s'agit, puis comment les manipuler). Cela dit, tu as raison en partie, et je retire l'aspect affirmatif à 100% de mon message d'avant.
(petite question : pourquoi tant de gens écrivent "ULM" et pas "Ulm" ? A tout hasard, je précise que ce nom vient du nom de la rue : "la rue d'Ulm", ce n'est pas un anagramme pas anagramme évidemment, je voulais dire sigle, acronyme)
(et le nom de la rue, lui, vient d'une ville en Allemagne, plus précisément d'une bataille napoléonienne qui s'est déroulée pas loin de ladite ville)
(en particulier, malgré peut-être certaines envies, il n'y a pas de planeurs à l'ENS :-D )
Ça se fait bien avec le tiers exclu mais le questionneur affirmait que ce n'est pas un théorème intuitionniste.
Je n'ai aucune idée du pourquoi... :-S
Pour ma part pour l'ENS Ulm, c'est juste que je trouve ca plus parlant avec majuscule, si je parlais de l'ENS Lyon en disant "Lyon" cela ferait bizarre par exemple.
Il y aussi la taille ses majuscules, en titre de mail de chapitre par exemple: "Theorie de la Mesure et Intégration" alors qu'en soit cela ne se fait pas.
Edit:J'espère que tu ne m'en veux pas.
ENS de Lyon.
PS: Pour explication: L'ENS de Lyon s'est effectivement appelée simplement "ENS Lyon" à une époque, de nos jour, le nom officiel est ENS de Lyon, et les Lyonnais sont très attachés au de, et corrigeront invariablement toute personne faisant cette faute :-D.
Edit: en fait, cet attachement à cet article relève peut-être aussi d'une espèce de blague entre les normaliens lyonnais, mais bon, on dérive (:P)
@Chat-maths, pourtant je suis Lyonnais.
Je pensais à une démonstration par récurrence. On vérifie que c'est vrai pour une foule composée de $n=2$ personnes:
...
amicalement,
e.v.
Mais ça reste surprenant
(moi je dis bien "Lyon" en référence à l'ENS de Lyon)
Georges : en principe, la quantification sur $P$ ne se fait pas au même niveau en logique du premier ordre (mais je me rends compte que df n'avait pas imposé cette restriction)
tu es en seconde et tu souhaites faire de la recherche mathématique, bravo !
tu as intérêt à commencer par quelques points précis des chapitres mathématiques qui te passionnent
par exemple les polyèdres de l'espace $R^3$ ou les polytopes réguliers de $R^4$
tu n'es pas obligé d'éplucher les ouvrages reconnus sur ces chapitres, ni a fortiori les paraphraser
ton intuition va t'engager sur une conjecture (une propriété envisagée) concernant ces objets mathématiques
et le désir de la vérifier et de la démontrer va te faire faire des sauts dans d'autres chapitres des mathématiques
qui vont t'obliger à élargir ton horizon de recherche, tu deviendras alors généraliste des mathématiques
et tu pourras sereinement candidater au concours ENS-Ulm !
bonne chance
Théorème : Soit $n$ un entier naturel non nul. On met dans une salle $n$ personnes. Si l'une de ces personnes est moustachue, alors tout le monde est moustachu.
Démonstration : C'est trivialement vrai pour n=1.
Supposons maintenant que c'est vrai pour $n$.
On met $n+1$ personnes dans une salle, parmi lesquelles il y a au moins un moustachu, que j'appellerai X.
On fait sortir de la salle une personne autre que X, que j'appellerai Y.
Il reste $n$ personnes dans la classe, donc par l'hypothèse de récurrence ces $n$ personnes sont moustachues.
Il reste un doute sur la moustachure de Y.
On fait rentrer Y dans la salle et on fait sortir n'importe qui d'autre.
On réapplique l'hypothèse de récurrence et le tour est joué.
P.S. : J'ai tellement bien rédigé que du coup ça devient trivial de trouver l'erreur, lol
Soit $n \geq 1$. $n$ filles désirent se marier. Chacune des filles donne une liste (de préférence non vide, mais pouvant être réduite à un élément) de tous les garçons qui seraient susceptibles de l'intéresser.
Problème : marier toutes les filles, de telle sorte que chaque fille soit mariée avec un des garçons de sa liste.
Tu remarqueras au passage que les garçons n'ont pas leur mot à dire, ce qui simplifie largement le problème.
Commençons par analyser la question : par exemple, si tu trouves un groupe de 4 filles qui, à elles toutes, ne sont intéressées que par 3 garçons, ça va pas le faire.
En généralisant, tu vois qu'il y a une condition nécessaire triviale : $\forall p \leq n$, tout groupe de $p$ filles doit être intéressé (à elles toutes) par au moins $p$ garçons.
Lemme des mariages : cette condition nécessaire est en fait suffisante.
Même "raisonnement par récurrence"