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Passer à l'étape supérieure

Boole et BillBoole et Bill
dans Vie du Forum et de ses membres
Bonjour. Je me rends compte à force de faire des démonstrations et de les comparer à certaines d'entre vous que je n'utilise que des outils niveau Licence, parfois niveau Master (si si une fois dans l'année j'utilise le théorème de l'application ouverte par exemple). Avez-vous des conseils pour passer un cran au dessus? Est-ce que par exemple vous auriez un problème, un théorème à démontrer, accompagné d'un indication de regarder telle ou telle théorie qui me pousserait à découvrir de nouvelles choses?
Merci

Réponses

  • MaxtimaxMaxtimax
    Quand tu parles du niveau au-dessus, tu veux dire "du niveau master", ou au-delà, i.e. niveau recherche ?

    (dans tous les cas, il faudra préciser un peu ta requête : quels domaines t'intéressent, quels outils connais-tu dans ces domaines, quel niveau de maîtrise as-tu à leur propos ? pas forcément très détaillé, mais au moins une vague idée)
  • PoirotPoirot
    Ça n'a pas de sens de parler de "résultats de niveau $n$", il n'y a pas de stratification des maths selon l'année où elles sont enseignées. Mon dernier travail de recherche n'utilise presque que des outils que l'on voit en licence, dirais-tu pour autant que mon article est "de niveau licence" ?
  • gerard0gerard0
    B&B,

    je me souviens d'un article publié sur une revue à propos des algorithmes génétiques sur la convergence vers les solutions. Avec beaucoup de méthodes élaborées, il montrait une "convergence stochastique". Avec les outils que j'enseignais à mes DUT première année, j'ai montré que s'il y avait une bonne solution, la convergence ne se faisait justement pas vers elle (dans cette forme).
    Donc ce qui compte, ce n'est pas les outils (on les apprendra si besoin est), mais les problèmes qu'on veut traiter. Et la compréhension véritable qu'on arrive à en avoir.

    Cordialement.
  • Boole et BillBoole et Bill
    Ce que je veux dire, c'est que j'aimerais avoir des automatismes liés à des théorèmes que l'on apprend en master, un peu à la manière dont on a des automatismes pour les accroissements finis, Lagrange etc... Oui Poirot tu as raison. Par exemple Maxtimax, dans le fil sur la densité de $\{\sin n\}$, Poirot a utilisé de gros théorèmes pour démontrer le résultat et plus encore. Pour moi cela dénote d'une certaine maitrise des outils qu'il utilise. Fixons une théorie, disons la théorie des corps. Je l'ai étudiée jusqu'aux prémisses de Galois, mais tout ce que j'ai vu, je ne l'ai appliqué qu'à des exos très internes à la théorie, des applications directes en gros (attention je n'ai pas dit que c'était facile pour autant). Ce que j'aimerais c'est être capable de faire de cette théorie un outil que je pourrais utiliser pour résoudre des problèmes d'algèbre ou de théorie des nombres d'apparence pas forcément liés directement à la théorie. Je ne sais pas si je suis clair. Pour rester sur la théorie des corps et répondre à ta question sur le contenu de ce que je sais, comme je l'ai dit que je suis arrivé jusqu'aux portes de Galois, sans non plus maitriser à fond tout ce qui est extension séparable. Si tu possèdes le livre de Gregory Berhuy, je m'en suis servi de référence jusqu'au chapitre XXVI exclus.
  • Boole et BillBoole et Bill
    Oui Gerard, je vois ce que tu veux dire. Disons que mon objectif est double dans ce cas : apprendre de nouvelles choses et trouver si je puis dire un sujet de recherche qui me pousse à avancer. En gros si vous voyez ce qu'est un TER à l'université, ça doit ressembler à ça.
  • Boole et BillBoole et Bill
    Si ça vous intéresse, voilà ce que j’ai décidé de faire : je me suis fixé cinq matières (équations différentielles, théorie des groupes, théorie des corps, algèbre linéaire, analyse réelle), et je me suis fait un emploi de temps comme si suivais ces matières à la fac, et disons que je vais faire ça pendant au moins 4 mois. Dans chacune de ces matières, je vais reprendre les bases dans le but d’ensuite, disons dès le deuxième mois, d’approfondir et d’apprendre de nouvelles choses.
  • CalliCalli
    Bonjour,
    Bonne courage Boole et Bill. :-)
  • Boole et BillBoole et Bill
    Merci Calli! Les équations différentielles ça va me demander un sacré travail. Je vais bosser avec le Berthelin, et essayer de dépasser le chapitre 2, chose que je n’ai jamais faite. :-D
  • Boole et BillBoole et Bill
    J’ai remplacé corps par anneaux. J’ai des lacunes monstres!!! C’est fou ce que l’on perd vite quand on ne pratique pas. C’est d’ailleurs pour ça que je suis aussi mauvais en équations différentielles, j’ai beau essayer d’apprendre des choses, je ne mobilise jamais mes connaissances dans ce domaine. Le résultat? Je ne retiens rien et je ne sais rien faire. C’est pour ça que je vous demandais des problèmes aussi, pour mobiliser les connaissances en plus de me motiver. Du coup maintenant que j’ai un peu plus précisé ce que j’allais faire et dans quels domaines, est-ce que vous avez un problème, si possible un par domaine, qui me servira de fil rouge et d’objectif? Plus précisément, un problème qui demande des mois d’études? Pas une conjecture indémontrable par contre. :-D Je me rends compte que j’aurais du m’orienter vers la voie de chercheur. Je me suis auto-censuré en me disant que je n’y arriverai jamais. Après il est certainement possible de faire de très belles maths en amateur bien sûr, et cela a l’avantage de ne pas mettre la pression. Le seul hic : quoi chercher en amateur? Les chercheurs définissent-ils eux mêmes sur quoi portent leurs recherches? Est-ce que ce ne serait pas plutôt un chef d’équipe qui dit toi tu vas chercher ça etc?
  • MaxtimaxMaxtimax
    Allez, je te donne un truc en théorie des anneaux : le théorème de Quillen-Suslin (qui était auparavant la conjecture de Serre - ce nom devrait t'indiquer qu'il faudra que tu travailles pas mal pour le comprendre ;-) ).

    A priori c'est quelque chose d'atteignable ( c'est un théorème, et ce document présente une explication, et j'ai l'impression - je l'ai pas lu, juste regardé en grande diagonale- qu'il ne contient rien d'insurmontable) mais de pas facile (enfin si tu trouves une preuve facile, dis-le à Serre)

    En algèbre linéaire/théorie des groupes, tu pourrais essayer de comprendre la théorie des représentations, d'un groupe fini $G$ général pour commencer (disons sur un corps algébriquement clos de caractéristique ne divisant pas $|G|$, sur $\C$ par exemple), puis comprendre la classification des représentations de $\mathfrak S_n$. Là on n'est pas sur "un problème difficile" ou quoi, plus sur une théorie, mais c'est un truc très intéressant, et "comprendre la classification des représentations de $\mathfrak S_n$ sur $\C$" est un objectif qui a le mérite d'être concret (par contre c'est pas vraiment une optique "recherche", sauf si tu cherches des trucs un peu à côté genre tu tripatouilles des trucs en caractéristique positive)
  • Boole et BillBoole et Bill
    Merci Maxtimax, je prendrai vite connaissance de ton document et si je le sens je me lancerai! Pour les représentations j’en avais fait un peu l’année dernière sans aller très loin, c’est une bonne idée :-)
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