produit tensoriel
dans Algèbre
C'est quoi un produit tensoriel tensoriel de deux modules ?
Et comment je peux calculer le produit tensoriel de $\mathbb Z^n$ et $\mathbb Q$
Et comment je peux calculer le produit tensoriel de $\mathbb Z^n$ et $\mathbb Q$
Réponses
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Bonjour,
- $ \mathbb{Z}^n \otimes \mathbb{Q} = \Big( \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \dots \oplus \mathbb{Z} \Big) \otimes \mathbb{Q} = \Big( \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Q} \Big) \oplus \Big( \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Q} \Big) \oplus \dots \oplus \Big( \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Q} \Big) = \mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q} \oplus \dots \oplus \mathbb{Q} = \mathbb{Q}^n $
- Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels $ M $ et $ N $ que l'on note $ M \otimes N $ ( idem. Pour deux modules ) est ce qui permet de dire que $ M \otimes N $ est un $ M $ - espace vectoriel ou $ N $ - espace vectoriel ( D'habitude on écrit : $ \mathbb{K} $ - espace vectoriel avec $ \mathbb{K} $ un corps, mais l'introduction de la notion du produit tensoriel permet d'avoir des $ M $ - espaces vectoriels avec $ M $ lui même un espace vectoriel ). Si on pose : $ M = \mathbb{R} $ par exemple, on a : $ \mathbb{R} \otimes N = N $ est un $ \mathbb{R} $ - espace vectoriel avec lequel on travaille d'habitude. $ \otimes $ est une extension de la notion de la loi multiplicative externe $ " . " $ qui figure dans l'écriture : $ \lambda . x $ avec $ ( \lambda , x ) \in \mathbb{R} \times M $, mais sa construction est un peu longue.
Cordialement. -
$ \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Q} = \mathbb{Q} $ parce que, en toute généralité : $ M \otimes \mathbb{Q} = S^{-1} M $ avec $ S = \mathbb{Z} \backslash \{ 0 \} $, si on remplace $ M $ par $ \mathbb{Z} $, ça donne le résultat.
Cordialement. -
merci
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Attention, une partie des affirmations de Pablo est incorrecte. (la première ligne est ok en tt cas). Il n'y a pas de notion d'espace vectoriel (ou de de module) sur un espace vectoriel.
Regarde plutôt
http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_tensoriel
et de préférence, un vrai cours. -
@mehyeddine :
C'est cette interprétation que je t'ai donné que nous utilisons en physique et en théorie de Hodge, sans laquelle tu ne peux discerner les objets que tu manipules.
Cordialement. -
@Pablo: Que tu passes ta vie à poser des questions totalement surréalistes, certes. Après tout tu es libre de gaspiller ton temps comme tu l'entends.
En revanche tu devrais y réfléchir à deux fois avant de répondre à une question sérieuse, puisque tu risques (comme c'est le cas ici) de raconter d'énormes idioties et donc d'induire un membre de ce forum en erreur. Tu n'as strictement rien compris à la notion de produit tensoriel, tu confonds tout et n'importe quoi.
@mehyeddine: oublie ce que Pablo t'a raconté et essaie plutôt de lire un cours sérieux sur le sujet.
Par exemple tu peux te diriger ici:
http://www.math.jussieu.fr/~polo/M1/ATG05ch9.pdf -
Non, je ne l'ai pas induit en erreur. Le cours que tu mets sur ce fil, comme tous les autres cours d'ailleurs, cherche à trouver une solution à un problème universel, cette solution n'est pas unique, mais unique à isomorphisme près. Donc, il existe plusieurs façon de construire un module produit tensoriel. Cette multitude de façon de construire un produit tensoriel a quelques points en commun, ces points en commun sont ceux que j'ai essayé de résumer dans le pavé que j'ai écrit plus haut.
En d'autres termes, en physique, et en théorie de Hodge, on se fiche de quoi est construit un produit tensoriel, quotient de $ A ( M \times N ) / L $ ... etc. mais, on se sert juste des techniques de calcul qui lui sont relatives indépendamment de cette construction. C'est toi qui semble rien comprendre de ce que j'ai dit, car tu n'as pas encore découvert d'autres champs d'applications du produit tensoriel où il n'existe pas d'autres interprétation que celle que j'ai donné plus haut.
P.S : Le produit tensoriel au début était utile pour la physique, avant d'être algébrisé et théorisé algébriquement. -
l'introduction de la notion du produit tensoriel permet d'avoir des $M$ - espaces vectoriels avec $M$ lui même un espace vectoriel
Vraiment n'importe quoi. -
Je répète que ta phrase est du n'importe quoi. Inutile de te gargariser de théorie de Hodge.
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ça ne sert à rien de répéter sans explications.
P.S : Si tu n'es pas convaincu par ce que j'ai dit, tu peux remplacer le premier exemple, par un autre plus convaincant : Construction du complexifié d'un $ \mathbb{R} $ - espace vectoriel. ( Regarde ce que ça veut dire sur google ). -
$\R^n\otimes_\R \R^p$ est un espace vectoriel sur $\R^n$, peut-être ? Je répète encore une fois (la dernière) : vraiment n'importe quoi.
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Oui, parce que : $ \forall x \otimes y \in \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^p $ : $ x \otimes y = \displaystyle \sum_{ij} a_{ij} e_{i} \otimes e_j = \displaystyle \sum_{i} \Big( \displaystyle \sum_{j} a_{ij} e_{j} \Big) \otimes e_{i} $ et $ \displaystyle \sum_{j} a_{ij} e_{j} $ est un vecteur de $ \mathbb{R}^n $, donc : $ \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^p $ est un $ \mathbb{R}^n $ - espace vectoriel.
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Pablo: Tous les ensembles ont 1 element.
Ga: N'importe quoi!
Pablo: Si! Regarde {0} a un element! D'ailleurs tu peux regarder ce qu'est un singleton (cherche sur Google si tu ne sais pas ce que c'est).
Toute ressemblance avec un discours existant est bien sur fortuite. -
Je sais ce qu'est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, un $\mathbb{C}$-espace vectoriel voire un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel avec $p$ un nombre premier.
Mais j'aimerai savoir ce qu'est un $\mathbb{R}^n$-espace vectoriel. B-)- -
Et j'aimerai savoir comment tu fais de $\mathbb{R}^n$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. :-D
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Non, $ \mathbb{R}^n $ n'est pas un $ \mathbb{C} $ - espace vectoriel.
J'ai dit que : $ \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{C} $ est un $ \mathbb{C} $ - espace vectoriel. -
Sauf erreur de ma part pour obtenir le produit tensoriel de deux espaces vectoriels il faut que ces deux espaces vectoriels soient tous les deux des K-espaces vectoriels, K un corps.
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Si $\mathbb{R}^n$ n'est pas un $\mathbb{C}$-espace vectoriel comment construis-tu $\mathbb{R}^n \otimes \mathbb{C}$?
Quand on oublie de préciser le corps de base c'est que le contexte est clair.
Mais si tu veux considérer $\mathbb{R}^n \otimes \mathbb{C}$ il faut préciser le corps de base. -
Le corps de base est $ \mathbb{R} $.
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Alors tu obtiens un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et non pas un $\mathbb{C}$ espace vectoriel.
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Fdp, tes interventions noient le poisson. Il est bien vrai que $\R^n\otimes_\R \C$ (sans indiquer que le produit tensoriel se fait sur $\R$, ça n'a pas de sens) est un $\C$-espace vectoriel parce que $\C$ est une extension de $\R$ (extension des scalaires).
L'énormité, c'est "$\R^n\otimes \R^p$ est un $\R^n$-espace vectoriel." -
@FdP: Pour le coup, on a bien une structure canonique de $\C$-espace vectoriel sur $\R^n \otimes_\R \C$ prolongeant la structure de $\R$-ev. L'action de $\C$ s'ecrit $\lambda(\sum_i e_i\otimes z_i) = \sum_i e_i\otimes (\lambda z_i)$.
C'est du au fait que $\C$ est une $\R$-algèbre: structures d'anneau et de $\R$-espace vectoriel compatibles. Si on remplace $\C$ par un $\R$-espace vectoriel quelconque $E$, on ne dispose plus de cette structure d'anneau et la notion de $E$-espace vectoriel n'a plus de sens.
Plus généralement, si $B$ est une $A$-algèbre et $M$ est un $A$-module, alors $B\otimes_A M$ est un naturellement muni d'une structure de $B$-module. On dit que c'est le module obtenu par extension des scalaires de $A$ à $B$. -
Ga?:
Merci pour la leçon mais je crains que cela n'embrouille Pablo qui a une vision purement formelle des choses (pas certain que quand on lui parle d'espace vectoriel qu'il lui vienne un exemple bien précis en tête). B-)-
Avec une pareille vision mieux vaut lui dire:
Pour faire le produit tensoriel de deux espaces vectoriels il faut que ces deux espaces vectoriels aient le même corps de base et que le résultat est un espace vectoriel sur le même corps de base. -
Voilà qu'on embrouillerait les gens en leur disant des choses vraies mais pas en leur disant des choses fausses.
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Ok merci. J'ai saisi l'idée. (:D
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Ce n'est pas toujours utile dans un premier temps de balancer tous les trucs vrais sur un sujet. B-)
PS:
Il ne faudra pas venir blâmer Pablo s'il voit des $\R^n$-espace vectoriel partout. :-D -
Certes. Mais dire qu'est faux un truc vrai, ça craint.
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H:
ok , je vais de ce pas , pour me punir, me fouetter en répétant un million de fois: je n'écrirai plus des trucs faux sur le forum. :-D -
Allons, allons, une centaine de fois suffira ;-).
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Quelqu'un peut m'expliquer ce passage à l'aide d'un exemple plus concret pour que je puisse comprendre. A quel moment la structure d'anneau intervient ?C'est du au fait que $\C$ est une $\R$-algèbre: structures d'anneau et de $\R$-espace vectoriel compatibles. Si on remplace $\C$ par un $\R$-espace vectoriel quelconque $E$, on ne dispose plus de cette structure d'anneau et la notion de $E$-espace vectoriel n'a plus de sens.
Merci d'avance. -
Non, @groupe_fonda : Tu te moques tout le temps de ce que je dis, et tu considères la moindre erreur que je fais impardonnable comme si j'ai tué un innocent. Comment veux tu que je réponds à tes questions alors que je n'échappes plus à tes mépris toi et la plupart ici.
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Pourquoi tu demandes ça ? Et ce n'est pas notre sujet ici.
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Tout le monde sait qu'un espace vectoriel est défini sur un corps de base $ \mathbb{K} $, mais maintenant, c'est différent, quant on passe au produit tensoriel, je vois les choses de manière differente, malgré que pour vous, j'enfreins quelques règles de définition.
Pourquoi, on ne peut pas admettre que $ \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^p $ ne peut pas être un $ \mathbb{R}^n $ - espace vectoriel ?
Merci d'avance. -
Je suis curieux de voir comment est définie cette loi externe.
-
Non, $ \otimes $ n'est pas une loi externe.
J'ai donné une mauvaise interprétation au produit tensoriel, depuis le début. ( $ \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^p \neq \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^p $ )
Je présente mes excuses à tout le monde. -
Pas de problème, Pablo, ça arrive à tout le monde.
Relis le message sur l'enrichissement de structure au moyen du produit tensoriel par une $k$-algèbre : c'est ça le vrai résultat:
Si $V$ et $W$ sont des $k$-espaces vectoriels, ça n'a pas de sens de dire que $V \otimes_k W$ est un $V$-espace vectoriel. C'est juste un $k$-espace vectoriel.
Par contre, si $V$ est de plus une $k$-algèbre (en particulier un anneau), alors $V \otimes_k W$ n'est pas juste un $k$-ev : c'est aussi un $V$-module. C'est ça qui a été expliqué plus haut par les intervenants. Tu trouveras ça dans n'importe quel cours d'algèbre linéaire de niveau L3 ou M1, par exemple (sans doute) ici:
http://www.math.jussieu.fr/~schapira/lectnotes/HomAl.pdf
(au début)
Sinon, dans un livre.
[Activation du lien. AD] -
@Pablo
Je vais te parler sérieusement, et j'espère que tu ne le prendras pas mal (mille excuses d'avance si tel était le cas).
Tu sembles être fortement intéressé par les mathématiques, mais tu as dû toi-même remarquer que tu avais certaines lacunes. Disons pour faire simple que tu as décidé de sauter l'étape Licence-Master pour t'attaquer à des problèmes difficiles.
Je vais te faire une confidence, j'ai moi-même tenté l'expérience (en L1 je lisais des livres de niveau M2) et j'étais convaincu de comprendre les mathématiques, tout ça parce que je prononçais des mots très compliqués. Sauf que j'ai fini par me rendre compte que tout ça n'avait aucun intérêt, et que je passais à côté de tout le plaisir que peut procurer cette discipline.
Tu aurais tout à gagner à reprendre les maths au niveau de la Licence. Si tu y consacres du temps, tu pourrais même assez vite arriver à des maths de niveau Master, puis aborder sereinement le conjecture de Hodge.
N'en as-tu pas assez de bloquer sur des questions de bases? Ne t'es-tu jamais demandé d'où cela pouvait-il provenir? Tout ce temps que tu passes à buter sur des choses élémentaires ou à poser des questions dont tu n'as même pas conscience qu'elles n'ont pas de sens. Ne penses-tu pas que c'est du temps gaché? Du temps que tu pourrais justement consacrer à apprendre les bases.
Je suis absolument certain que si tu te fixais des objectifs raisonnables, tous les membres de ce forum seraient ravis de t'aider.
Bon courage pour la suite. -
Je vous l'avais dit que parler de l'extension du corps de base dans un produit tensoriel allait embrouiller Pablo.
Il faut pouvoir définir une multiplication externe sur le produit tensoriel.
Une telle multiplication naturellement est héritée des deux K-espaces vectoriels, la multiplication par éléments de K qui est un corps.
A priori, $\mathbb{R^n}$ n'a pas une structure d'anneau commutatif pour $n>2$ et encore moins une structure de corps commutatif.
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Bonjour!
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