Corps de rupture

Réponse brève : parce que le quotient est exactement fait pour ça !

Moins bref. Si on note $\pi$ la projection, on a par définition des opérations sur le quotient : $P(x)=P(\pi(x))=\pi\big(P(X)\big)$ (pourquoi au fait ?). Mais par définition, $P(X)$ s'envoie sur $0$ dans le quotient. Fini.

Pourquoi au fait ? Eh bien, écrivons $P(X)=\sum_{k=0}^na_kX^k$. Dire que $\pi$ est un morphisme d'anneaux, c'est dire qu'il envoie la somme de deux éléments sur la somme des images, le produit sur le produit, la puissance $k$-ème d'un élément sur la puissance $k$-ème de l'image. Et donc : $\pi\big(\sum_{k=0}^na_kX^k\big)=\sum_{k=0}^na_k\pi(X)^k=P(\pi(x))$ (ici, je note encore $a_k$ l'image de $a_k$ par $\pi$).

Oui, et même $a_k\pi(X)^k$.

L'idée c'est de continuer à noter $a_k$ plutôt que $\pi(a_k)$ les scalaires dans le quotient. Pourquoi ça ne dérange pas ? Parce que les scalaires sont dans un corps et que $\pi$ est un morphisme d'anneaux donc se restreint en un morphisme de corps sur les polynômes constants et qu'un morphisme de corps est injectif (eh ! son noyau serait un idéal ! dans un corps !). Bref, on ne perd pas d'information si on ne change pas la notation.

Aiz a écrit:

$\pi$ est nécessairement injectif, car sinon le $\ker\pi$ serait un idéal non trivial de $K[X]$ ce qui est absurde, car $K[X]$ est un corps

Attention ! Il y a confusion ici !
$\ker\pi=(P)$ est bien un idéal non trivial de $K[X]$ qui lui est un anneau, pas un corps.
$\pi$ n'est pas injectif, mais surjectif : c'est la surjection canonique de $K[X]$ sur son quotient $K[X]/(P)$.
Par contre c'est la restriction de $\pi$ aux polynômes constants (isomorphes à $K$) qui elle va être injective.

Pourquoi ? Parce que si $a\in K[X]$ est un polynôme constant, son degré est $\deg a\leq 0$.
Alors la division euclidienne $a=PQ+R$, parce que $\deg P\geq 1$ va donner $Q=0$ et $R=a$.
Donc $\pi(a)=a\pmod P$, et pour se simplifier l'écriture, on peut choisir $a$ pour représentant de la classe $a\pmod P$.
Enfin si $\pi(b)=\pi(a)$ alors $b=a\pmod P$ et à cause des degrés $b=a$, donc $\pi$ restreint aux polynômes constants (càd à $K$) est injectif, donc bijectif sur son image $K\subset K[X]/(P)$. On peut donc identifier $K\subset K[X]$ et $K\subset K[X]/(P)$, ce dont on ne se prive pas en notant $\pi(a)=a$, sans le $\pmod P$.

Alain