Inégalité

Il y a un poly de OFM olympiade française de mathématiques sur les inégalités par
Pierre Bornzstein http://www.animath.fr/spip.php?article255
ça peut t'aider

Je ne sais pas si ça aide, mais il suffit de montrer que $\forall a,b,c\in \R_+^*$,
$$( a<b+c, \,b<c+a,\, c<a+b)\implies \dfrac{a}{(b+c-a)²}+ \dfrac{b}{(a+c-b)^2}+ \dfrac{c}{(a+b-c)^2} \geqslant \dfrac{a^5+b^5+c^5}{(abc)^2}.$$

(L'inégalité est vraie expérimentalement.)

On peut noter que si on réduit au même dénominateur le membre de gauche, ce dénominateur est inférieur à celui du membre de droite.
En effet, en utilisant les notations de Raymond, on a $a+b-c=2x$ etc..et donc le dénominateur commun gauche est $8xyz$ (au carré) tandis que le droit est $(x+y)(y+z)(z+x)$ (au carré),Or $(x+y)^2\geq 4xy$ etc...

La condition suffisante que propose JLT a un côté plus sympathique que le problème originel: elle est homogène...mais de degré $11$!

Je viens de découvrir le texte de Pierre Bornzstein
http://www.animath.fr/spip.php?article255
conseillé par plasma et pour la première fois je rencontre le nom de Muirhead! Je me dis qu'il faut peut-être chercher de ce côté-là. J'ai été ravi de connaître ce livre!

Raymond Cordier écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,862548,862709#msg-862709

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C'est la transformation de Ravi (en anglais Ravi transformation ou Ravi substitution).
Pour une introduction par exemple http://hcmop.wordpress.com/2012/02/29/ravi-transformation-and-the-usage-of-power-mean-inequality/

Bonjour

J'utilise ici la remarque de \textbf{JLT}. D'autre part, par Hölder on trouve : \[
\sum_{cyclique}{\frac{a}{(b+c-a)^2}}\sum_{cyclique}a^2(b+c-a)\sum_{cyclique}a^3(b+c-a)\geq \Big(\sum_{cyclique}a^2\Big)^3=27
\] Maintenant en utilisant L'inégalité de Schur : $$
\sum_{cyclique}a(a-b)(a-c)\ge 0 \Rightarrow\sum_{cyc}a^2(b+c-a)\leq 3abc
$$ et : $$
\sum_{cyclique}a^2(a-b)(a-c)\ge 0 \Rightarrow\sum_{cyc}a^3(b+c-a)\leq abc(a+b+c)
$$ De même,par l'inégalité AM-GM, on obtient : $$
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\le3(a^2+b^2+c^2)=9 \Rightarrow a+b+c\le 3
$$ Finalement en combinant tout ça on arrive à : \[
\sum_{cyclique}{\frac{a}{(b+c-a)^2}}\geq\frac{9}{(abc)^2(a+b+c)}\geq\frac{3}{(abc)^2} \]

Hum ... "transformation de Ravi" ?

La figure du cercle inscrit dans un triangle, avec les points de contact qui font apparaître les trois segments $x=p-a$, $y=p-b$, $z=p-c$, chacun présent deux fois respectivement aux sommets $A,B,C$, était dans tous les manuels de géométrie de Quatrième depuis des lustres, et suggère bien naturellement la transformation en question.

Pour ma part, j'utilise depuis longtemps cette transformation pour les problèmes d'inégalités, sans appellation particulière. Le premier problème que j'ai vu concernant une inégalité faisant intervenir les côtés d'un triangle, c'était sans doute le problème 2 des OIM de 1964, corrigé notamment dans : Samuel L. Greitzer, International mathematical Olympiads, 1959-1977, MAA, 1978, avec plusieurs méthodes dont une est peu ou prou la transformation en question, évidemment sans nom.
Dans : Arthur Engel, Problem Solving Strategies, Springer 1998, cette transformation est signalée en p. 164, sans dénomination.

Une recherche m'a fait apparaître que depuis quelques années cette appellation "transformation de Ravi" tend à se généraliser, du moins dans le monde des compétitions mathématiques, sans qu'on puisse savoir qui est ce Ravi, qui n'est sans doute pas le santon Lou Ravi de la crèche ...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Le_Ravi

Je soupçonne donc une attribution fantaisiste. Encore une. Et comme les gens se recopient pieusement sans prendre soin de remonter aux sources, tout porte à craindre une prolifération cancéreuse. Mais bon, ce n'est pas bien grave. En tout cas moi, je m'abstiendrai d'utiliser cette appellation avant d'obtenir de plus sûres informations.

Bonne journée.
RC
...

D'accord pour l'équation de Fermat-"Pell".
Raison de plus pour ne pas encourager une attribution fantaisiste de plus.
Bonne journée.
RC

Bonjour,

imaginons un théorème T1 dû à l'auteur A, généralisé par l'auteur B, puis regénéralisé par C et ainsi de suite .

Plusieurs possibilités :
appeler T1 le théorème de A .
appeler T1 le théorème de A-B-C-...
appeler T1 le théorème de Z (le dernier de la chaine).
appeler T1 le théorème de µ qui n'a rien à voir avec A,B,C ..
ne retenir de A,B,C ..que les auteurs d'une certaine nationalité (russe par exemple) .
ne jamais donner de nom d'auteur à un théorème
trouver d'autres dénominations comme théorème du sandwich
etc .

bien cordialement

kolotoko

@ Ravi
Ravi, alors ce brillant mathématicien indien, quelle époque ? Quelles sources ? Il aurait découvert ce que je savais en Quatrième, que quand on trace le cercle inscrit dans un triangle, les points de contact découpent des segments tels que j'ai dit précédemment ? Waw, que c'est profond : il se situe sans doute dans les années Mille ? On donne des sources sérieuses et l'on en dit plus, sinon, faut arrêter avec les attributions exotiques fantaisistes.
RC

Et l'appellation "Triangle de Pascal" est-elle aussi folklorique et canularesque ?

Je cite Wikipedia :

En mathématiques, le triangle de Pascal, est une présentation des coefficients binomiaux dans un triangle. Il fut nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Blaise Pascal. Il est connu sous l'appellation triangle de Pascal en Occident, bien qu'il fut étudié par d'autres mathématiciens des siècles avant lui en Inde, Perse, Maghreb, Chine (où il est appelé « Triangle de Yang Hui »), Allemagne et Italie.