somme alternée de racines de l'unité

gai requin · September 2012

Bonjour à tous.
Je bloque sur la question suivante.
Soit $p$ un nombre premier impair.
Soit $\epsilon$ l'homomorphisme de groupes de $\mathbb{F}_p^*$ dans $\{-1;1\}$ tel que $\epsilon (\zeta)=-1$ pour tout générateur $\zeta$ de $\mathbb{F}_p^*$.
Soit $g=\displaystyle{\sum_{\ell=1}^{p-1}}\epsilon(\ell)e^{2i \pi \ell/p}$.
Calculer $g^2$.

Après quelques tests maple, il semblerait que $g^2=(-1)^{\frac 1 2(p-1)}p$, ce que j'arrive à prouver pour $p=3$ et $p=5$.
Quelqu'un aurait-il une idée pour démontrer le cas général ?
Merci d'avance pour toute indication.

jandri · September 2012

Bonjour,

On peut montrer que g est égal à la somme de Gauss associée à p:
$G_p=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}e^{2i\pi k^2/p}$.
En effet $l=a^k$ avec $a$ générateur de $ \mathbb{F}_p^*$ donc $\varepsilon(l)=1$ si $k$ est pair ($l$ est un carré) alors que $\varepsilon(l)=-1$ si $k$ est impair ($l$ n'est pas un carré).
On a donc $g=\displaystyle\sum_{l\; carré\neq0}e^{2i\pi l/p} -\sum_{l\; non carré}e^{2i\pi l/p}=2\sum_{l \;carré\neq0}e^{2i\pi l/p}+1$ (puisque la somme des racines p-ièmes de 1 est nulle) d'où $g=G_p$.

Il est bien connu que $G_p=\sqrt p$ si $p=4k+1$ et que $G_p=i\sqrt p$ si $p=4k+3$.

gai requin · September 2012

Merci beaucoup pour cette indication.
Je n'aurais jamais pensé aux sommes de Gauss que je ne connais pas (:P)

gai requin · September 2012

En réalité, la formule pour $g^2$ est vraie dans tout corps de caractéristique $q \neq p$.
On peut donc se passer des sommes de Gauss.
Si quelqu'un est intéressé, je peux poster une démo...

jandri · September 2012

Je suis intéressé par une démonstration n'utilisant pas les sommes de Gauss (au moins par l'idée de la démonstration).

Mais je ne comprends pas la généralisation à tout corps de caractéristique q différente de p: comment est alors défini g ?

gai requin · September 2012

Soit $\zeta$ une racine primitive $p$-ième de l'unité dans une certaine extension de $\mathbb{F}_q$ (ou de $\mathbb{Q}$ d'ailleurs) et $g=\displaystyle{\sum_{\ell \neq 0}} \varepsilon(\ell) \zeta^\ell$.
Alors
\begin{align*}
g^2&=\bigg({\sum_{k \neq 0}} \varepsilon(k) \zeta^k \bigg) \bigg({\sum_{\ell \neq 0}} \varepsilon(\ell) \zeta^\ell \bigg)\\
&={\sum_{k,\ell \neq 0}} \varepsilon(k\ell) \zeta^{k+\ell} \\
&={\sum_{m }} \bigg({\sum_{\substack {k \neq 0 \\ k \neq m}}} \varepsilon(k(m-k)) \bigg) \zeta^m \\
&={\sum_{m }} \bigg({\sum_{\substack {k \neq 0 \\ k \neq m}}} \varepsilon(-1)\varepsilon(1-m/k) \bigg) \zeta^m \\
&={\sum_{k \neq 0}} \varepsilon(-1)+\varepsilon(-1){\sum_{m \neq 0}} \bigg( {\sum_{\substack {d \neq 0 \\ d \neq 1}}} \varepsilon(d) \bigg) \zeta^m \\
&=(p-1)\varepsilon(-1)-\varepsilon(-1){\sum_{m \neq 0}} \zeta^m \\
&=(p-1) \varepsilon(-1)+\varepsilon(-1) \\
&=(-1)^{\frac 1 2(p-1)}p.
\end{align*}
P.S.: J'ai omis certains détails

-D

jandri · September 2012

Merci gai requin pour cette démonstration très claire.
Effectivement ce calcul est valable dans une extension de n'importe corps de caractéristique différente de p.

somme alternée de racines de l'unité

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