endomorphismes diagonalisables
Réponses
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Dejà si u est diagonalisable c'est assez simple, non?
Pour la réciproque, comment ferais tu?
Eric -
Bien, maintenant tu donnes enfin un énoncé complet : on est dans $\C$, et la condition a lieu pour tout $\alpha$.
Alors, si $n$ est un entier $\geq1$ et si $\alpha\in\C$, peux-tu comparer $\ker(u-\alpha\,\mathrm{Id})$ et $\ker((u-\alpha\,\mathrm{Id})^n)$ ? Et si $\alpha$ est valeur propre de $u$, qu'est-ce que $\ker(u-\alpha\,\mathrm{Id})$ ? -
Je précise ma question qui était assez imprécise. Si $\mathrm{rg}(u-\alpha\,\mathrm{Id})= \mathrm{rg}((u-\alpha\,\mathrm{Id})^ 2)$, que peut-on dire de $\ker(u-\alpha\,\mathrm{Id})$ et $\ker((u-\alpha\,\mathrm{Id})^2)$ ? de $\ker(u-\alpha\,\mathrm{Id})$ et $\ker((u-\alpha\,\mathrm{Id})^n)$ pour $n\geq 1$ ?
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rg(u-@id)=rg((u-@id)^2) alors ker(u-@id) et ker((u-@id)^2) ont la dimension d'après le théorème du rang.
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Telle qu'elle est écrite, ta phrase ne veut pas dire grand chose : tu as oublié le mot important. Relis toi !
Et puis il faudrait aller un peu plus loin. Ont-ils seulement même dimension, ou peut on dire plus ? Et pour $\ker((u-\alpha\,\mathrm{Id})^n)$ avec $n > 2$ ?
De façon générale, si $v$ est un endomorphisme d'un espace de dimension finie, comment peut-on comparer $\ker(v), \ker(v^2), \ker(v^3),\ldots$ ? Et que se passe-t-il si on sait que $\mathrm{rg}(v}=\mathrm{rg}(v^2)$ ? -
on note qu' on a une suite croissante d' ensemble:ker(v)∁ ker(v^2) ∁ ker(v^3).dans notre exo,rg(u-@id)=rg((u-@id)^2) implique que ker(u) et ker(u^2) ont la meme dimension.Etant des sous espaces vectoriels de E,on peut conclure ker(u)=ker(u^2).Dans notre cas ,ker(u-@id)=ker((u-@id)^2)
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Et pour $\ker((u-\alpha\,\mathrm{Id})^n)$ avec $n > 2$ ?
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on aura les memes égalités pour tout n.
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Conjecture ou théorème ?
Si tu l'as démontré, que penses-tu d'un petit coup de lemme des noyaux sur le crâne du polynôme caractéristique ? -
Bon, avant que Christophe ne vienne casser les prix, je te le fais moins cher :
1°) Si $Q\times(X-a)^2$ annule $u$, alors $Q\times (X-a)$ aussi.
2)) On conclut par un célèbre critère de diagonalisabilité.
Tu achètes ? -
le polynome minimale est scindé et a des racines simples.Donc u est diagonalisable.
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@ Zo.si on recapitule:on a rg(u-@id)=rg((u-@id)^2) alors ker(u-@id)=ker((u-@id)2) .Puis on generalise(une reccurence marche!) ce resultat pour aboutir au fait que ker((u-@id)^n)=ker(u-@id).On note alors que tout vecteur propre X de u associé à la valeur propre @ verifie la relation suivante: (X-@)^n =0 ,la valeur propre @ est donc d'ordre n.L'ensemble etant de dimension n ,le polynome caracteristique de u s'ecrit alors:P(X)=(X-@)^n,il est annulateur de u d'après Cayley Hamilton.Ce qui implique que (X-@) est aussi annulateur.Le polynome minimale est donc scindé et admet des valeurs propres .u est donc diagonalisable.
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le poly minnimal admet des racines simples
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::o
Je ne comprends rien de ce que tu écris après "On note alors que tout vecteur propre ... "
Je t'ai proposé une voie plus simple que la voie sur laquelle je t'avais engagé au début. Pourquoi ne la suis-tu pas ? Je recommence :
1°) Peux-tu montrer que si $Q\times(X-a)^2$ annule $u$, alors $Q\times (X-a)$ aussi. (Indication : le produit $QR$ annule $u$ si et seulement si l'image de $R(u)$ est contenue dans le noyau de $Q(u)$).
2°) Peux-tu en déduire que le polynôme minimal de $u$ est scindé à racines simples ? -
en parlant de l'image de R(u),veux-tu parler de u(R(u))=u(u-a)?
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Je ne comprends rien à "veux-tu parler de u(R(u))=u(u-a)"
R est un polynôme, u est un endomorphisme, R(u) est un endomorphisme, l'image de R(u) est le sous-espace vectoriel image de cet endomorphisme.
Q est un polynôme, Q(u) est un endomorphisme, le noyau de Q(u) est le sous-espace vectoriel noyau de cet endomorphisme.
Le produit QR est un polynôme, QR(u) est un endomorphisme.
Je dis : QR(u) = 0 (l'endomorphisme nul) si et seulement si le sous-espace vectoriel image de R(u) est contenu dans le noyau de Q(u).
Ceci est une indication que je te donne pour démontrer que si $(Q\times(X-a)^2)(u)=0$, alors $(Q\times(X-a))(u)=0$.
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