racines de l'unité

gai requin
gai requin
dans Algèbre
Bonjour à tous.
Voilà une question qui me paraît intéressante.
Si $k$ est un corps, on désigne par $U_n(k)$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité dans $k$.
Soit également $E$ l'ensemble des $(d,n) \in (\mathbb{N}^*)^2$ tels que :
(i) $d$ divise $n$.
(ii) il existe un corps $k$ tel que $U_n(k)$ est d'ordre $d$.

Si $d$ divise $n$, j'arrive à montrer que :
$(d,n) \in E$ si $d$ est pair, ou si $d$ et $n$ sont impairs, ou si $d$ est de la forme $2^r-1$.

En revanche, je ne parviens pas à décrire $E$ complètement.

Quelqu'un aurait-il une suggestion ?

Réponses

  • gai requin
    gai requin
    En fait, j'ai l'intime conviction que la réciproque est vraie...
  • JLT
    JLT
    Dans $F_{16}$, le groupe des racines 10e de l'unité est d'ordre 5
  • JLT
    JLT
    Si $d$ divise $n$, soit $p$ un nombre premier tel que $p$ est congru à $d+1$ modulo $n$. Alors le groupe des racines n-ièmes de l'unité dans $F_p$ est d'ordre d.

    Edit : un tel nombre premier n'existe pas toujours...
  • gai requin
    gai requin
    Oui pour $(5,10)$ :)
    $p$ n'existe pas si $d$ est impair et $n$ pair (le cas qui pose problème...).
    Et penses-tu que $(5,30) \in E$ ?
  • JLT
    JLT
    Effectivement, (5,30) n'appartient pas à E car k devrait être de caractéristique 2 et contenir une racine 5e de l'unité, donc devrait contenir $F_{16}$, et donc il contiendrait une racine 15e de l'unité.
  • gai requin
    gai requin
    Quand $(5,10n)$ appartient-il à $E$ ?
  • gai requin
    gai requin
    Dans tout raisonnement, pourquoi $k$ ne pourrait-il pas être de caractéristique $7$ ?
    Quand tu parles de racines de l'unité, j'ai l'impression qu'elles sont implicitement primitives.
  • JLT
    JLT
    k est de caractéristique 2 car dans le cas contraire, il y aurait un élément d'ordre 5 et un élément d'ordre 2 dans le groupe multiplicatif, donc le produit de ces éléments serait d'ordre 10.
  • gai requin
    gai requin
    Donc peut-être que, pour $n$ pair, $(5,n) \in E$ ssi $n$ est un multiple de $5$ sans être multiple de $15$ ?
  • JLT
    JLT
    Oui c'est ça.
  • gai requin
    gai requin
    Peut-on généraliser ce résultat à tous entiers naturels $d$ impair et $n$ pair avec $d$ ne s'écrivant pas $2^r-1$ ?
    (si c'est vrai, je veux bien essayer de le prouver)
  • JLT
    JLT
    Je crois que si d est impair et n est pair, alors (d,n) appartient a E si et seulement si n/d est premier avec $(2^k-1)/d$, où k est le plus petit entier tel que d divise $2^k-1$.
  • gai requin
    gai requin
    En tout cas, ça marche pour tous les cas étudiés précédemment ($d=2^r-1$ et $d=5$).
    Remarque : si $k$ est de caractéristique $0$, on peut montrer que $U_n(k)$ est d'ordre au moins $2d$.
  • gai requin
    gai requin
    On suppose que $d$ est impair et n'est pas de la forme $2^r-1$ et que $n$ est pair.
    Soit $r$ l'ordre de $2$ dans $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^*$ et $k=\mathbb{F}_q$ avec $q=2^r$.
    On suppose que $pgcd(q-1,n)=d$.
    Comme $|U_n(k)|$ divise $n$ et $q-1$, il divise $d$.
    Or, $k^*$ est cyclique et possède donc un élément $x$ d'ordre $q-1$.
    En particulier, $x^{\frac {q-1} {d}}$ est d'ordre $d$ donc $|U_n(k)| \geq d$ et $(d,n) \in E$.

    Reste à étudier la réciproque...

    Correct ?
  • gai requin
    gai requin
    En fait, si cette demo est correcte, $|U_n(k)|=pgcd(q-1,n)$ en général...
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