racines de l'unité
dans Algèbre
Bonjour à tous.
Voilà une question qui me paraît intéressante.
Si $k$ est un corps, on désigne par $U_n(k)$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité dans $k$.
Soit également $E$ l'ensemble des $(d,n) \in (\mathbb{N}^*)^2$ tels que :
(i) $d$ divise $n$.
(ii) il existe un corps $k$ tel que $U_n(k)$ est d'ordre $d$.
Si $d$ divise $n$, j'arrive à montrer que :
$(d,n) \in E$ si $d$ est pair, ou si $d$ et $n$ sont impairs, ou si $d$ est de la forme $2^r-1$.
En revanche, je ne parviens pas à décrire $E$ complètement.
Quelqu'un aurait-il une suggestion ?
Voilà une question qui me paraît intéressante.
Si $k$ est un corps, on désigne par $U_n(k)$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité dans $k$.
Soit également $E$ l'ensemble des $(d,n) \in (\mathbb{N}^*)^2$ tels que :
(i) $d$ divise $n$.
(ii) il existe un corps $k$ tel que $U_n(k)$ est d'ordre $d$.
Si $d$ divise $n$, j'arrive à montrer que :
$(d,n) \in E$ si $d$ est pair, ou si $d$ et $n$ sont impairs, ou si $d$ est de la forme $2^r-1$.
En revanche, je ne parviens pas à décrire $E$ complètement.
Quelqu'un aurait-il une suggestion ?
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Réponses
Edit : un tel nombre premier n'existe pas toujours...
$p$ n'existe pas si $d$ est impair et $n$ pair (le cas qui pose problème...).
Et penses-tu que $(5,30) \in E$ ?
Quand tu parles de racines de l'unité, j'ai l'impression qu'elles sont implicitement primitives.
(si c'est vrai, je veux bien essayer de le prouver)
Remarque : si $k$ est de caractéristique $0$, on peut montrer que $U_n(k)$ est d'ordre au moins $2d$.
Soit $r$ l'ordre de $2$ dans $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^*$ et $k=\mathbb{F}_q$ avec $q=2^r$.
On suppose que $pgcd(q-1,n)=d$.
Comme $|U_n(k)|$ divise $n$ et $q-1$, il divise $d$.
Or, $k^*$ est cyclique et possède donc un élément $x$ d'ordre $q-1$.
En particulier, $x^{\frac {q-1} {d}}$ est d'ordre $d$ donc $|U_n(k)| \geq d$ et $(d,n) \in E$.
Reste à étudier la réciproque...
Correct ?