algèbre tensorielle
Bonjour,
soit V un $\mathbb K$-espace vectoriel qui engendre une algèbre tensorielle TV laquelle nous donne une algèbre quotient TV/$\mathcal I $ où $\mathcal I$ est un idéal . soit ensuite l'application $\alpha : V \longrightarrow TV/\mathcal I $ est ce que $\alpha V $ engendre l'algèbre TV/$\mathcal I $ ; pourquoi ?
soit V un $\mathbb K$-espace vectoriel qui engendre une algèbre tensorielle TV laquelle nous donne une algèbre quotient TV/$\mathcal I $ où $\mathcal I$ est un idéal . soit ensuite l'application $\alpha : V \longrightarrow TV/\mathcal I $ est ce que $\alpha V $ engendre l'algèbre TV/$\mathcal I $ ; pourquoi ?
Réponses
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Bonjour
La surjection canonique $TV\to TV/{\cal I}$ est ... surjective! Tout élément de $TV/{\cal I}$ a au moins un antécédent dans $TV$, or $TV$ est engendré par $V.$ -
oui, mais comment traduire ça avec le formalisme ? on ne démontre pas avec des mots !
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Eh bien, tu prends un élément de $TV/{\cal I}$, tu lui donnes un nom, et tu fais ce que j'ai suggéré!
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you&me écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,771481,771492#msg-771492
Bien sûr qu'on démontre avec des mots ! Avec quoi d'autre veux-tu démontrer ? Des images ? De la musique ? Il n'y a rien à rajouter à ce qu'a dit Magnolia.
Soit $W$ l'algèbre engendrée par $\alpha(V)$ ; $\alpha^{-1}(W)$ est une sous-algèbre de $TV$ qui contient $V$, c'est donc $TV$ ; comme $\alpha$ est surjective, on a $W=\alpha(\alpha^{-1}(W))=\alpha(TV)=TV/I$. -
Bonjour,
@ Pnine : pourquoi tu as écris "$ \alpha (TV)$ " alors que tu vois bien que $\alpha $ est définie sur $V$ ? as-tu au moins une idée de ce que fait concrètement $ \alpha$ ? Je pose la question à tout le monde . -
Et toi, as tu seulement défini ce qu'était $\alpha$ ? Est-ce aux autres de l'inventer pour toi?
Je ne crois pas que tu mérites vraiment qu'on te réponde...
Eric -
est ce qu'il y a mille façons de définir $ \alpha$ ? J'aimerais bien le savoir par deux exemples ou trois
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$\alpha(x) = \pi(\sum_{k \in S} c_k x^{\otimes k})$ avec $\pi$ la projection de $TV$ sur $TV/I$
pour une famille finie de réels $c_k$ donne déjà une infinité de possibilités pour $\alpha$.
Eric -
Bon ok, Je précise : étant donné que l'algèbre tensorielle $TV$ est la somme $\bigoplus TV^{\otimes k}$ avec $TV^{\otimes 1}=V$, je définis "mon" $ \alpha $ par la composition suivante : \\
$ V\longrightarrow TV^{\otimes 1}=V \subset \bigoplus TV^{\otimes k} \longrightarrow TV/\mathcal I $ de telle sorte que $\alpha(x)$ donne la classe d'équivalence de ce même $x$ mais considéré comme élément de $ TV^{\otimes 1} $ . Mais c'est classique ça ! n'est ce pas ainsi que vous devez comprendre $\alpha$ ? -
Bonjour You&me
En guise d'application
je te propose un exemple
Savais tu, Mr Pnine, que la musique comme les formes exprimaient des tenseurs vectoriels.
« Ceux qui aiment marcher en rangs sur une musique : ce ne peut être que par erreur qu’ils ont reçu un cerveau, une moelle épinière leur suffirait amplement. »
Albert Einstein
Amitiés. -
@you&me
Non: pour preuve regardes la façon dont sont rédigées les réponses qui t'ont été faites...
La notation $\alpha$ n'est classique que pour toi parce que tu l'as apprise comme ca.
Maintenant que tu as explicité $\alpha$, à quoi ressemblent les éléments de l'algèbre
engendrée par ton $\alpha(V)$.
Eric -
ils sont de la forme $ x+\mathcal I $ et leurs produits tensoriels c'est exactement $TV/\mathcal I $ car ces produits sont de la forme $ \otimes x_{i} + \mathcal I$ d'où ce qu'on appelle une auto-réponse n'est ce pas ?
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Je ne sais pas ce qu'est une auto-réponse, mais tu vois par toi même qu'en faisant l'effort
d'écrire complètement les choses, ce n'était finalement pas bien sorcier....
Eric -
@you&me qui écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,771481,771663#msg-771663
J'ai écrit $\alpha(TV)$ parce que $\alpha$ se prolonge naturellement et uniquement en une application linéaire $TV \to TV/I$. En résumé, l'algèbre engendrée par $\alpha(V)$ est la projection de l'algèbre engendrée par $V$. C'est tout ce qu'il y a à comprendre.
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Bonjour!
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