Question simple à propos de G/H
Bonsoir,
Avertissement : il se peut que cette question soit stupide. J'espère que je n'ai pas loupé un truc vraiment évident.
Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe. Soit $X$ un ensemble de représentants des classes à gauche de $G$ mod. $H$. On note $G'$ le groupe engendré par $X$ et $H'=G' \cap H$. On suppose que $H'$ est distingué dans $G$. Se peut-il que $H$ ne soit pas distingué dans $G$ ?
Je serais très intéressé par une preuve que dans ce cas $H$ est distingué, et encore plus intéressé par un contre-exemple.
Avertissement : il se peut que cette question soit stupide. J'espère que je n'ai pas loupé un truc vraiment évident.
Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe. Soit $X$ un ensemble de représentants des classes à gauche de $G$ mod. $H$. On note $G'$ le groupe engendré par $X$ et $H'=G' \cap H$. On suppose que $H'$ est distingué dans $G$. Se peut-il que $H$ ne soit pas distingué dans $G$ ?
Je serais très intéressé par une preuve que dans ce cas $H$ est distingué, et encore plus intéressé par un contre-exemple.
Réponses
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Non car G'=G (et donc H'=H), sauf erreur...
Eric -
Si $G=\frak{S}_3$ et $H$ est engendré par $(1,2)$ on peut prendre $X=\{\mathrm{Id},(1,2,3),(1,3,2)\}$ et $G'=\frak{A}_3$, $H'=\{\mathrm{Id}\}$. Donc on a un contre-exemple... Je suis très surpris, je vais revenir pour poser une autre question car je dois avoir loupé un truc.
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Ah au temps pour moi je pensais au groupe engendré par les éléments des classes...
Eric -
Comment définit tu l'intersection d'un ensemble de classes d'équivalence avec un ensemble d'éléments de ces classes
(en l'occurence H)?
Eric -
En fait je suis encore intéressé par des contre-exemples mais si possible avec $G/H$ plus grand... Bon je m'explique ou je vais passer pour un fou.
Soit $r$ une section de la projection $G \to G/H$. On a donc, si $X \in G/H$ (pas la même notation que plus haut), $X=r(X)H$. On définit une loi sur $G/H$ en posant $X \top Y = r(X)r(Y)H$. On définit la même loi sur $G'/H'$ (mêmes notations que plus haut) via la bijection canonique $G'/H' \to G/H$. Pour que cette loi soit associative, il faut et suffit que $H'$ soit distingué dans $G'$ (mêmes notations que plus haut). Et dans ce cas $G'/H'$ est le groupe quotient habituel !
Quand ça se produit, $G/H$ est donc muni d'une structure de groupe, sans que $H$ soit nécessairement distingué. C'est ça qui me choquait et c'est pour ça que je pensais que $H$ devait forcément être distingué.
Maintenant je me dis que mettre une structure de groupe cyclique sur l'ensemble à trois éléments c'est pas bien compliqué. Je me demande ce qui se passerait pour des groupes plus gros mais il n'y a probablement pas de réponse bien intéressante. -
Je n'ai pas compris ta question Eric.
-
G' est un ensemble de parties de G, que signifie son intersection avec H qui est une partie de G?
Eric -
$G'$ est un sous-groupe de $G$, engendré par les représentants qu'on a choisi (i.e. engendré par les images de la section de $G \to G/H$).
-
Ok j'avais pas compris que tu prenais le groupe engendré par une section.
Eric -
Bonjour
Il me semble que les ennuis viennent du fait que tu ne demandes pas grand chose à la structure de groupe qui tu mets sur $G/H$. Il n'y a aucun doute que si la surjection canonique $s : G\to G/H$ est un morphisme de groupe, comme $H=\ker(s)$, il est bien distingué ! -
Je suis tout à fait d'accord avec toi. Il n'y a en fait rien de plus ici que l'existence d'un isomorphisme canonique entre G/H et G'/H' (pour la loi définie par une section), et le fait que parfois, "par hasard" H' est distingué dans G'. Mais je trouve ça amusant et pour ma part je ne m'attendais pas à un truc de ce genre. Ce n'est pas comme si on avait mis la loi sur G/H de manière arbitraire, par transport de structure via une bijection quelconque sur un groupe de même cardinal. Hormis le choix de la section, tout est naturel. Pas de quoi fouetter un chat cependant.
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