Complément de Schur

Bonjour à tous,
J'ai un peu de mal sur la deuxième question de cet exercice,

Soit $A=\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{pmatrix}$ une matrice carrée inversible avec $A_{11}$ également inversible
Montrer que $A$ peut se factoriser sous la forme : (je ne vois pas comment le montrer)
$A=\begin{pmatrix}
I_{11} & 0\\
M_{1} & I_{22}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
A_{11} & 0\\
0 & S
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
I_{11} & M_{2} \\
0 & I_{22}
\end{pmatrix}$
1) Expliciter $S$ le complément de Schur, $M_{1}$ et $M_{2}$ ($I_{11}$ et $I_{22}$ matrices blocs identités).
2) Montrer que si $A$ et $A_{11}$ sont symétriques définies positives alors il est en est de même pour $S$.

Après la multiplication des 3 matrices, j'ai trouvé :
$M_{2}=A_{11}^{-1}.A_{11}$
$M_{1}=A_{21}.A_{11}^{-1}$ et
$S=A_{22}-M_{1}M_{2}$.
Je sais ensuite qu'une matrice est définie symétrique positive,si : $x^{T}.A.x > 0$