Fermeture algébrique d'une intersection

Bonjour à tous.

On considère une famille d'extensions de corps $k \subset K_i \subset \Omega$ pour $i \in I$ et on note $L_i$ la fermeture algébrique de $K_i$ dans $\Omega$.
Soit $K=\cap_{i \in I} K_i$ et $L$ la fermeture algébrique de $K$ dans $\Omega$.

Soit $x \in L$ et $i \in I$.
Alors il existe un polynôme $P$ non nul de $K[X] \subset K_i[X]$ tel que $P(x)=0$ donc $x$ est algébrique sur $K_i$ et $x \in L_i$.
Ainsi, $L \subset \cap_{i \in I} L_i$.

A-t-on égalité ?

Merci d'avance pour tout indication ?