groupe topologique
dans Algèbre
Soit $(x,y) \mapsto x*y$ une loi de composition interne sur $\mathbb{R}$ possédant un élément neutre $e$ et telle que tout réel soit régulier pour cette loi.
Si $x \in \mathbb{R}$, on note $\ell_x$ et $r_x$ les applications de $\mathbb{R}$ dans lui -même définies par $\ell_x(y)=x*y$ et $r_x(y)=y*x$.
On suppose que $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R},\ (x,y) \mapsto x*y$ est continue.
a) Montrer que $\ell_x$ et $r_x$ sont strictement croissantes et surjectives.
b) Montrer que $(\mathbb{R},*)$ est un groupe topologique abélien.
Si $x \in \mathbb{R}$, on note $\ell_x$ et $r_x$ les applications de $\mathbb{R}$ dans lui -même définies par $\ell_x(y)=x*y$ et $r_x(y)=y*x$.
On suppose que $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R},\ (x,y) \mapsto x*y$ est continue.
a) Montrer que $\ell_x$ et $r_x$ sont strictement croissantes et surjectives.
b) Montrer que $(\mathbb{R},*)$ est un groupe topologique abélien.
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Réponses
Je n'arrive à calculer qu'une seule des limites en l'infini et je ne vois pas d'autres arguments que le théorème des valeurs intermédiaires.
Comme $\ell_x(y)\ne y$ pour tout $y$, tu dois pouvoir en déduire que $\ell_x$ est croissante et tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et vers $-\infty$ en $-\infty$.
Edit : non, ça ne marche pas.
Mais quid de la limite en $-\infty$ ?
Si $y<z$, $(r_y-r_z)(e)<0$. Comme $r_y-r_z$ est continue et ne s'annule jamais, elle est donc strictement négative et $r_y(x)<r_z(x)$ ce qui prouve que $\ell_x$ est strictement croissante.
Même chose pour $r_x$.
1) Si $x>e$ alors pour tout $y$, $x^ny$ tend vers $+\infty$.
2) Supposons par l'absurde qu'il existe $x>e$ tel que $\lim_{y\to -\infty} xy=c\ne -\infty$. Quitte à remplacer $x$ par $x^n$ pour un certain $n$, on peut supposer que $c> e$, donc $xy>e$ pour tout $y$.
En déduire que si $z<e$ alors $z$ est inversible à gauche. On note $i(z)$ l'inverse à gauche de $z$.
Montrer que $i(z)\to +\infty$ quand $z\to -\infty$.
En déduire que $x$ est inversible à droite. Obtenir une contradiction. Ceci montre que $\ell_x$ est bijective. On a une assertion analogue pour $r_x$, donc $\ast$ est une loi de groupe. On montre facilement que l'inverse est une application continue.
3) Fixons $x$. Notons $\sigma(y)=xyx^{-1}$. On veut montrer que $\sigma$ est l'identité.
On a $\sigma(x)=x$, donc $\sigma(x^n)=x^n$ pour tout $n$.
Pour tout $p>0$, il existe un et un seul élément $y$ tel que $y^p=x$. On le note $x^{1/p}$. On a $\sigma(x^{n/p})=x^{n/p}$ pour tout $(n,p)\in\Z\times \N^*$. On en déduit que $\sigma$ est l'identité.
Pour le 2), $x*z>e$ si $z<e$ donc $i(z)<x$ et je ne vois pas comment $i(z) \rightarrow +\infty$ quand $z \rightarrow -\infty$. Ceci dit, si on justifie cette limite, on a immédiatement une contradiction.
De plus, pour montrer que $(\mathbb{R},*)$ est un groupe, il faut aussi montrer que la loi $*$ est associative...
Comme $i(z)^2=i(z^2)$, si $a\ne +\infty$ on a $a^2=a$ donc $a=e$. Contradiction.
P.S. Je n'avais pas vu que la loi n'était pas supposée associative !
Au pire, on peut passer par $\liminf$ et $\limsup$...
Comme $i(z)<x$, on a bien une contradiction...
Je vais regarder du côté de l'associativité dès que bébé sera couché :)o
Par surjectivité de $\ell_x$, on peut trouver un réel $a$ tel que $(x*y)*z=x*a$.
D'où $a=x^{-1}*(x*y)*z$ et $y^{-1}*a=z$ puis $a=y*z$ cqfd.
Je continue à penser qu'il existe des lois non associatives vérifiant les hypothèses mais j'ai du mal à en expliciter une qui soit calculable.
Alors $0$ est l'élément neutre. Je doute que pour $h$ quelconque on ait l'associativité.
Il me semble que pour cette loi, tout réel est régulier ssi $h$ est constante ssi $*=+$.
Or, $+$ est associative...
Montrons-le pour $\ell_x$. On a
$\ell_x(y)=\ell_x(z)$
$\implies x+y-h(x-y)=\ell_x(y)-h(\ell_x(y)) =\ell_x(z)-h(\ell_x(z)) =x+z-h(x-z)$
$\implies y-h(x-y)=z-h(x-z)\implies ((x-y)-(x-z))=-h(x-y)+h(x-z)$. Comme $h$ est 1/2-Lipschitzienne, cela entraîne $(x-y)=(x-z)$ donc $y=z$.
[Edit : j'avais oublié de rajouter l'hypothèse que $h$ est paire, afin que 0 soit bien l'élément neutre].
Je rajoute donc l'associativité pour la loi $*$.
Merci pour tout JLT
Je viens de relire ta démo sur la commutativité et il me semble y avoir un problème puisque ton $y$ dépend de $x$...
Voilà ce que j'arrive à montrer.
Soit $x>e$ et $(u_n)$ la suite réelle définie par $u_0=x$ et ${u_{n+1}}^2=u_n$ pour tout $n \in \mathbb N$.
Alors $(u_n)$ est strictement décroissante vers $e$ et, pour tout $n \in \mathbb N$, $xu_n=u_nx$.
Je pense qu'il est alors possible de conclure quant à la commutativité de $*$ mais j'ai cherché sans succès...
Est-ce à dire que l'exo proposé au début de ce fil est un exo en construction par Gai requin ?
En supposant $*$ associative, peut-on démontrer par des arguments topologiques les questions du début ?
Je ne vois pas trop pourquoi les translations sont surjectives et strictement croissantes. Peut-on me donner plus de détails ?
Merci par avance !
Je n'ai pas lu tout ce qui précède, mais l'exo est aussi traité sur d'autres sites!
Pour la croissance: Soit $x < y$. Soit $A=\{a\in \R| a\star x < a \star y\}$. $A$ est non vide car $e\in A$ et ouvert puisque $\star$ est continue. Comme $a\star x=a\star y$ est imposible, le complémentaire de A est l'ensemble tout aussi ouvert $\{a\in \R| a\star x > a\star y\}$. mais alors la connexité de $\R$ entraine $A=\R.$
Une fois qu'on sait que $\ell_a$ est strictement croissante, pour montrer qu'elle est surjective, il suffit de montrer qu'elle n'est ni majorée, ni minorée. Pour fixer les idées, on prend $e < a.$ La suite définie par $u_0=e$ et $u_{n+1}=a\star u_n$ est strictement croissante. Si elle avait une limite $\alpha$ celle-ci vérifierait $\alpha=a\star \alpha$ ce qui est impossible à cause de la régularité. Donc ce n'est pas majoré.
Pour voir que ce n'est pas minoré on prend $y < e$ et on construit de même la suite $v_0=y$ et $v_{n+1}=a\star v_n.$
Non ! Si je pose la question, c'est à cause du fait que tout n'est pas dit. Par exemple, même si tu ne veux pas en dire plus, je suis en droit de me poses des questions lorsque tu dis :
Le problème n'est pas de savoir ce que tu rajoutes ou pas, mais de savoir ce que dit l'énoncé, si énoncé il y a ! Si un tel énoncé existe, où est-il, ou où peut-on le trouver ?
Je sais et j'ai vu une telle démonstration sur un autre site. Le problème est que je ne la comprends pas. Par exemple, comment prouver que l'ensemble $A$ est vraiment ouvert. Ne me dis surtout pas qu'il s'agit de la continuité de la loi $*$, car en l'état, c'est loin de me satisfaire.
Merci par avance.
Est-ce que sur les autres sites on suppose dès le départ que la loi est associative ?
Réponse : Pourquoi le supposerait-on ? Dans l'énoncé que tu possèdes, ne te demande t-on pas de démontrer ce résultat à la question 2 ? A moins que cet énoncé n'aie jamais existé !
Le fait que tu ne veuilles pas répondre à cette question me laisse supposer que j'ai raison.
Merci
J'ai répondu à ta question. Pourquoi ne veux-tu pas me dire où tu as trouvé ton exo ? J'avoue que je ne comprends pas.
Merci