groupe topologique

Bonjour, au revoir, s'il vous plaît, merci...

On peut montrer les choses suivantes :

1) Si $x>e$ alors pour tout $y$, $x^ny$ tend vers $+\infty$.

2) Supposons par l'absurde qu'il existe $x>e$ tel que $\lim_{y\to -\infty} xy=c\ne -\infty$. Quitte à remplacer $x$ par $x^n$ pour un certain $n$, on peut supposer que $c> e$, donc $xy>e$ pour tout $y$.

En déduire que si $z<e$ alors $z$ est inversible à gauche. On note $i(z)$ l'inverse à gauche de $z$.

Montrer que $i(z)\to +\infty$ quand $z\to -\infty$.

En déduire que $x$ est inversible à droite. Obtenir une contradiction. Ceci montre que $\ell_x$ est bijective. On a une assertion analogue pour $r_x$, donc $\ast$ est une loi de groupe. On montre facilement que l'inverse est une application continue.

3) Fixons $x$. Notons $\sigma(y)=xyx^{-1}$. On veut montrer que $\sigma$ est l'identité.

On a $\sigma(x)=x$, donc $\sigma(x^n)=x^n$ pour tout $n$.

Pour tout $p>0$, il existe un et un seul élément $y$ tel que $y^p=x$. On le note $x^{1/p}$. On a $\sigma(x^{n/p})=x^{n/p}$ pour tout $(n,p)\in\Z\times \N^*$. On en déduit que $\sigma$ est l'identité.

Quand $z$ tend vers $-\infty$, $i(z)$ tend vers une limite $a\in ]e,+\infty]$ pour des raisons de monotonie.

Comme $i(z)^2=i(z^2)$, si $a\ne +\infty$ on a $a^2=a$ donc $a=e$. Contradiction.

P.S. Je n'avais pas vu que la loi n'était pas supposée associative !

Si $z<t$ alors $i(t)t=e=i(z)z<i(z)t$ donc $i(t)<i(z)$.

Je crois qu'il faut mettre l'associativité dans les hypothèses. Par exemple, la loi $x\ast y=x+2y$ vérifie les hypothèses mais n'est pas associative.

Exemple : soit $h$ une fonction [Edit : paire] telle que $|h'|\le 1/2$. On définit $x\ast y$ comme l'unique réel $z$ tel que $x+y=h(x-y)+z-h(z)$.

Alors $0$ est l'élément neutre. Je doute que pour $h$ quelconque on ait l'associativité.

Pour moi, $x$ est régulier si $\ell_x$ et $r_x$ sont injectives.

Montrons-le pour $\ell_x$. On a
$\ell_x(y)=\ell_x(z)$
$\implies x+y-h(x-y)=\ell_x(y)-h(\ell_x(y)) =\ell_x(z)-h(\ell_x(z)) =x+z-h(x-z)$
$\implies y-h(x-y)=z-h(x-z)\implies ((x-y)-(x-z))=-h(x-y)+h(x-z)$. Comme $h$ est 1/2-Lipschitzienne, cela entraîne $(x-y)=(x-z)$ donc $y=z$.

[Edit : j'avais oublié de rajouter l'hypothèse que $h$ est paire, afin que 0 soit bien l'élément neutre].

En es-tu sûr ?

deff('t=f(x,y)','t=x+y-.5*cos(x-y)');

function u=som(x,y)
deff('t=g(v)','t=v-.5*cos(v)-f(x,y)');
u=fsolve(0,g);
endfunction


-->disp(som(1,som(2,3))-som(som(1,2),3))
 
    1.4269918  

Gai requin disais

Je rajoute donc l'associativité pour la loi $*$.

Est-ce à dire que l'exo proposé au début de ce fil est un exo en construction par Gai requin ?

En supposant $*$ associative, peut-on démontrer par des arguments topologiques les questions du début ?

Je ne vois pas trop pourquoi les translations sont surjectives et strictement croissantes. Peut-on me donner plus de détails ?

Merci par avance !

Bonjour

Je n'ai pas lu tout ce qui précède, mais l'exo est aussi traité sur d'autres sites!

Pour la croissance: Soit $x < y$. Soit $A=\{a\in \R| a\star x < a \star y\}$. $A$ est non vide car $e\in A$ et ouvert puisque $\star$ est continue. Comme $a\star x=a\star y$ est imposible, le complémentaire de A est l'ensemble tout aussi ouvert $\{a\in \R| a\star x > a\star y\}$. mais alors la connexité de $\R$ entraine $A=\R.$

Une fois qu'on sait que $\ell_a$ est strictement croissante, pour montrer qu'elle est surjective, il suffit de montrer qu'elle n'est ni majorée, ni minorée. Pour fixer les idées, on prend $e < a.$ La suite définie par $u_0=e$ et $u_{n+1}=a\star u_n$ est strictement croissante. Si elle avait une limite $\alpha$ celle-ci vérifierait $\alpha=a\star \alpha$ ce qui est impossible à cause de la régularité. Donc ce n'est pas majoré.

Pour voir que ce n'est pas minoré on prend $y < e$ et on construit de même la suite $v_0=y$ et $v_{n+1}=a\star v_n.$