parties d'un anneau
dans Algèbre
Soit $A$ un anneau. Pour un partie $P$ non vide de $A$, on note $\cal{D}(P)$ l'ensemble des $x-y$, où $x,y \in P$.
On suppose qu'il existe deux parties $S$ et $T$ non vides de $A$ telles que $A=S \cup T$ et telles que $S \cap T \neq \emptyset$.
Montrer que $A=\cal{D}(S)$ ou que $A=\cal{D}(T)$.
On suppose qu'il existe deux parties $S$ et $T$ non vides de $A$ telles que $A=S \cup T$ et telles que $S \cap T \neq \emptyset$.
Montrer que $A=\cal{D}(S)$ ou que $A=\cal{D}(T)$.
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Réponses
On n'utilise pas la structure d'anneau, seulement la structure de groupe abélien.
Par translation, on peut supposer que $0\in S\cap T$. Quitte à diminuer $S$ et $T$ on peut supposer que $S\setminus \{0\}$ et $T\setminus \{0\}$ sont disjoints.
S'il existe un élément $t\notin {\mathcal{D}}(S)$, alors $t\in T$, et on en déduit que $S\subset {\mathcal{D}}(T)$. D'autre part, $T\subset {\mathcal{D}}(T)$ donc $A\subset {\mathcal{D}}(T)$.
De manière générale, si $T\not \subset \cal{D}(S)$, choisissons $t \in T$ avec $t \notin \cal{D}(S)$. Soit $s \in S$. Alors $t+s \notin S$ donc $t+s \in T$. D'où $S \subset \cal{D}(T)$.
On a donc toujours $T \subset \cal{D}(S)$ ou $S \subset \cal{D}(T)$.
Supposons maintenant qu'il existe $x \in S \cap T$.
Pour $P \subset A$, notons $P'=\left \{ p-x;p \in P \right \}$.
Alors $A=S \cup T=S' \cup T'$.
D'après le résultat précédent, $T' \subset \cal{D}(S')$ ou $S' \subset \cal{D}(T')$.
Or, $0 \in S' \cap T'$ donc $S' \subset \cal{D}(S')$ et $T' \subset \cal{D}(T')$.
Donc $A= \cal{D}(S')=\cal{D}(S)$ ou $A= \cal{D}(T')=\cal{D}(T)$.