Théorème de Fermat ..

Que peux-tu dire de ce groupe ?
Déjà, quel est son ordre ?
Que peut-on dire de l'ordre d'un élément dans un groupe fini ?

Mince, je me suis fait grillé sur ce coup là !!

(tu)

Peut-être encore mieux avec des $\overline{1-a^{p-1}}$ au lieu des $1-a^{p-1}$ ?

Si x est son propre inverse alors x²=1, résoudre x²-1=0 modulo un premier donc en se ramenant à un corps est trivial à ce niveau.
hormis, ces deux éléments les éléments de Z/pZ s'associe par paire donc...

Le résultat que luc te propose d'utiliser est quand même très élémentaire : luc dit simplement que dans Z/pZ (en fait dans tout anneau intègre), une équation de degré 2 a au plus deux solutions.

Mais soit! On va montrer le résultat avec uniquement des groupes.

Bon, il s'agit d'abord de savoir quel résultat montrer.
La question est : "quels sont les éléments égaux à leur inverse ?".
Ce qui se reformule : "quelles sont les solutions de x²=1 ?"
Soit encore : "déterminer le noyau du morphisme de groupe $x \mapsto x^2$"
(je te laisse le soin de justifier qu'il s'agit bien d'un morphisme)

Bon, déjà, on connait deux solutions : -1 et 1 (éventuellement égales si p=2). Y en a-t-il d'autres ?

Alors de deux choses l'une :
a) ou bien tout élément est un carré dans Z/pZ
b) ou bien il existe un élément a (nécessairement non nul) qui n'est pas un carré

Supposons qu'on est dans le cas a).
Dans ce cas, le morphisme de groupe "carré" est surjectif, donc bijectif puisque...
Et donc son noyau est...

Supposons maintenant qu'on est dans le cas b).

Reprends ton application $\varphi_a$ de 22:55:43 : $\varphi_a(x)=ax$ avec $a$ un élément qui n'est pas un carré.
Tu remarques que si $x$ est un carré non nul, $\varphi_a(x)$ n'est pas un carré (car...).
On peut donc restreindre $\varphi_a : \{\text{carrés non nuls}\} \rightarrow \{\text{pas carrés}\}$.
Et cette restriction est injective (car...).

Mais en fait, cette restriction est même surjective.
En effet, on peut la composer par l'application $\varphi_{a^{-1}} : \{\text{pas carrés}\} \rightarrow \Z/p\Z \setminus \{\=0\}$ et on obtient l'identité ! Donc...

Résumons : $\varphi_a : \{\text{carrés non nuls}\} \rightarrow \{\text{pas carrés}\}$ est bijective. En particulier, il y a autant de carrés-non-nuls que de pas-carrés, soit $\frac{p-1}{2}$.

Maintenant on cherche le noyau du morphisme de groupe "carré", mais son image est... donc d'après... le noyau...


Voili voilou, mais c'est quand même plus agréable de s'aperçevoir qu'une équation de degré n a au plus n solutions...

Une démonstration sans morphisme ni noyau, ça n'utilise pas la notion de groupe. Ta démonstration n'utilise que les congruences et peut être comprise en terminale S. Ce n'est pas un défaut, loin de là, mais s'il s'agit d'un exercice du chapitre sur les groupes, c'est un peu "hors sujet"...

Ce qui veut dire qu'il faut se servir de la théorie des groupes, par exemple pour dire que $x \mapsto x^{-1}$ est une bijection de $\Z/p\Z \setminus \{\bar{0}\}$ dans lui même.

Mais tu te permets de refuser la recherche des invariants sous la forme
$$x^2 = \bar{1} \iff x^2-\bar{1} = \bar{0} \iff (x-\bar{1})(x+\bar{1}) = \bar{0} \iff \Big( x-\bar{1}=\bar{0} \ \mathrm{ou} \ x+\bar{1} = \bar{0} \Big)$$
sous prétexte que cela utilise l'intégrité de $\Z/p\Z$ en tant qu'anneau,
alors que tu traites l'unicité de l'inverse de $x$ modulo $p$, qui est une propriété de groupes, en écrivant, je cite :
{\it à chaque élément $x$ on peut associer un unique $y$ tel que $xy\equiv 1(p)$ $y$ est unique car si on a $xy\equiv 1(p)$ $xz\equiv 1(p)$ on aura $x(y-z)\equiv 0(p)$}
et tu de gardes bien de dire comment tu en déduis $y-z \equiv 0(p)$, parce que c'est tout ce que tu veux, sauf une propriété de groupe !

"Exercices sur le chapitre des groupes" ne veut pas dire que l'on n'a pas le droit d'utiliser ce que l'on connaît par ailleurs.

D'ailleurs je ne vois pas comment on peut étudier la seule structure multiplicative de $\Z/p\Z \setminus \{\bar{0}\}$ sans faire référence à certaines propriétés de l'anneau $\Z/p\Z$