sous-groupe engendré

Marouane
Marouane
dans Algèbre
Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$ tels que $HK = KH$ tel que $HK=\{x \in G |\ \exsists h \in H\ et\ k \in K : x=hk \}$. Vérifier que $HK = <H \cup K>$ $HK$ est le sous-groupe engendré par $H \cup K$
j ai reussi à demontrer ke $HK$ est inclu dans $<H \cup K>$
mais le reste je bloque .. vous pouvez m'aider svp ?

Réponses

  • Pierre
    Pierre
    salut,

    tu as fait le plus dure. $HK$ est un groupe, et il est évident que $H \cup K$ est inclus dans $HK$. Ainsi, le sous groupe engendré par $H \cup K$ est inclus dans $HK$. (Le groupe engendré un ensemble $A$ est le plus petit groupe contenant $A$, c'est aussi l'intersection de tous les groupes contenant $A$).
  • Marouane
    Marouane
    c'est évident ?
  • Marouane
    Marouane
    tu peux m expliquer stp pierre ?
  • jobherzt
    jobherzt
    Oui, c'est evident ! Il est clair que $H$ et $K$ sont tous les 2 inclus dans $HK$, puisque les éléments de $HK$ sont des éléments de la forme $hk$ avec $k \in K,\ h\in H$, Donc par définition $h\cdot 1$ et $1\cdot k$ sont dans $HK$.

    Ensuite, si 2 ensembles sont inclus dans un autre, c'est clair que leur union est dedans aussi.
  • Marouane
    Marouane
    oui où avais-je la tête ? lol
    mercii
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