Angle

Nilat · March 2007

Je cherche tout simplement le sinus de l'angle entre deux vecteurs, dans un espace de dimension n.

Ca fait une semaine que je cherche sans trouver de réponse, peu importe l'approche.

En effet, là où en 3 dimensions il suffit de faire un produit vectoriel, en dimension n ce n'est pas possible. Et bien entendu, le signe de ce sinus est important, on ne pourrait se satisfaire d'un bête (1-cos²(u,v))^1/2.
Les deux vecteurs sont exprimés dans la base canonique.

Merci d'avance.

gb · March 2007

Je pense que tu as un problème avec la notion d'angle, et par suite avec les lignes trigonométiques de l'angle.

Pour définir proprement un sinus, il faut orienter le plan dans lequel sont tes vecteurs, et dans un espace de dimension $n \geq 3$ ({\bf 3 compris}), il n'y a pas de méthode "canonique" pour définir cette orientation. On ne peut donc pas attribuer de "signe" au sinus, et l'on doit se contenter de la relation "$\sin^2 = 1 - \cos^2$".

Même avec le produit vectoriel en dimension 3, on ne calcule que des sinus positifs.

SadYear · March 2007

Bonjour,

Je vais sûrement dire une bêtise mais bon...

Il me semble qu'il faut rester en dimension 2 ici, i.e. se placer dans le plan engendré par les deux vecteurs pour être ramené au cas connu.

Pour moi en dimension 3, je peux envoyer un couple de vecteur (u, v) sur (v, u) par une rotation d'angle Pi autour de la bissectrice de ce couple. Une rotation étant censée conserver les angles, il me semble donc que si on souhaitait définir un angle en dimension 3 (ou plus) on rencontrerait le pb (u, v) = (v, u) quand bien même on aurait choisi une orientation de l'espace.

Edit : Grillé par gb.

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