Anneau factoriel
Bonjour,
Il y a un point que je ne comprends pas dans la démonstration de mon cours qui affirme qu'un anneau principal est factoriel.
Le professeur écrit sans autre forme de procès que $x$ est non inversible, non nul, et non irreductible donc il s'écrit sous la forme $x = a b$ où $a$ et $b$ ne sont pas inversibles.
En cherchant j'ai trouvé une démonstration, mais elle utilise l'axiome du choix (théorème de Krull)
Ma question est donc, faut-il utiliser l'axiome du choix pour montrer qu'un anneau principal est factoriel ?
Merci
Il y a un point que je ne comprends pas dans la démonstration de mon cours qui affirme qu'un anneau principal est factoriel.
Le professeur écrit sans autre forme de procès que $x$ est non inversible, non nul, et non irreductible donc il s'écrit sous la forme $x = a b$ où $a$ et $b$ ne sont pas inversibles.
En cherchant j'ai trouvé une démonstration, mais elle utilise l'axiome du choix (théorème de Krull)
Ma question est donc, faut-il utiliser l'axiome du choix pour montrer qu'un anneau principal est factoriel ?
Merci
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Réponses
qui est x?
J'ai ouvert un bouquin et la lumière fut.
En ouvrant ce dit bouquin, j'ai vu la "véritable" définition et évidemment là, c'est immédiat.
Le $x$ dont je parlais est le $x$ qu'on exhibe lorsqu'on suppose $A$ principal non factoriel. $x$ n'est pas factorisable.
J'aurais dû réfléchir un peu plus avant de poster.
Merci.
{\it soit x non inversible, non nul, non factorisable. Il s'écrit sous la forme ab, et l'un des 2 a, ou b, n'est pas factorisable. On fait une suite $a_0:=x,a_1,...$ telle que les idéaux $(a_n)$ croissent strictement avec $n$. Dans un anneau principal, il n'y a pas de suite strictement croissante d'idéaux}
Enfin, je suppose...
Oui, dans un anneau noetherien (un anneau où tout idéal est de type fini), il n'y a pas de suite strictement croissante d'idéaux. Tout anneau principal est noetherien