endomorphisme

djib1 · February 2007

Bonjour,

J'ai un endomorphisme f de R[X] tel que pour tout P appartenant à R[X] f(P)(X)=P(X+1)-P(X)

Il faut que je trouve son image, je pense que c'est R[X] mais je ne sais pas le montrer

Merci

gb · February 2007

Montre que, pour tout $n$, la restriction $f_n$ de $f$ à $\R_{n+1}[X]$ a pour image $\R_n[X]$. Tu assureras la surjectivité de $f$ : tout polynôme de degré $n$ admet un antécédent de degré $n+1$.

kilébo · February 2007

Quelle est l'image de $\R_n[X]$ ?

gb · February 2007

La même idée, avec d'autres oripeaux : pour tout $n$, $P_n = f(X^{n+1})$ est élément de $\textrm{Im}\,f$. Or $P_n$ est de degré $n$, donc $\textrm{Im}\,f$ contient une famille échelonnée en degrés et $\textrm{Im}\,f = \R[X]$.

djib1 · February 2007

L'image de Rn[X] c'est Rn-1[X] mais le problème c'est que c'est une question qui vient après ça. En fait je pense qu'il faut que je le montre autrement mais je ne sais pas comment faire....

djib1 · February 2007

Merci gb ca marche

gb · February 2007

djib> Nos messages se sont certainement croisés. Regarde ma réponse de 12:04:51

djib1 · February 2007

J'ai une autre petite question:

Comment pourrais-je montrer que ((fn)^j) j compris entre 0 et n est base de Cn={u dans L(Rn[X]) tels que fn(u(X))=u(fn(X))}
Merci

kilébo · February 2007

J'ai bien peur que ta question, sans le contexte, n'a strictement aucun sens.

gb · February 2007

Si j'ai bien compris, $f_n$ est la restriction de $f$ à $\R_n[X]$, mais le commutant $C_n$ est il $\{u \in \textrm{L}(\R_n[X]) ; (f_n \circ u)(X) = (u \circ f_n)(X)\}$, ou bien $\{u \in \textrm{L}(\R_n[X]) ; \forall P \in \R_n[X] \ (f_n \circ u)(P) = (u \circ f_n)(P)\}$ ?