Groupe engendré par une rotation irrationnelle

Titre initial Groupe monogène engendré par une rotations irrationnelles

Bonjour, voici un problème que j'ai déjà posé sans avoir eu de réponse:

Je considère le groupe G des rotations sur le cercle unité muni d'une origine.
Soit G_a le sous-groupe de G engendré par la rotation d'angle 2pi/a, a irrationnel. L'ordre de ce sous-groupe est infini mais dénombrable, donc tous les points du cercle ne sont pas atteints puisque cet ensemble n'est pas dénombrable. C'est donc un sous groupe strict.
Questions :
- L'ensemble des points du cercle représentatif des éléments de ce sous-groupe G_a a-t-il des particularités (qui peuvent dépendre du choix de l'irrationnel a), par exemple peut-il avoir des points d'accumulation ou la répartition est-elle toujours uniforme ? Est-il dense dans le cercle ?
- Cet ensemble a-t-il des particularités différentes si a est irrationnel algébrique ou irrationnel transcendant ?
Il me semble que la question sous jacente à ce problème est l'approximation d'un irrationnel par un rationnel.

Voici quelques réflexions personnelles sur la manière de l'aborder:

Je choisis d'abord une nombre k^2 fini d'itérations de la rotation 2pi/a. Par commodité je choisi k^2 carré de l'entier k. J'obtiens donc k^2 points sur le cercle.
Je divise le cercle en k secteurs égaux et je compte les points dans chaque secteur. j'obtiens ainsi un "histogramme circulaire" (en coordonnées polaires) de la densité de points pour un nombre k^2 fini de points. Par exemple k^2 = 10000, je définis 100 secteurs et il y aurait 100 points par secteur si cette densité était uniforme. Evidemment, elle ne l'est pas : si on suppose que a est très proche d'un rationnel b, les points vont se grouper (au moins pour k^2 pas trop grand) autour des points 2npi/b, n entier.
Une fois cette densité ainsi définie pour k^2 fini, faisons tendre k vers l'infini. Que devient la densité ? Est-ce qu'elle se lisse pour tendre vers l'uniformité ? Si oui, la vitesse à laquelle elle se lisse doit dépendre de l'irrationnel a. On pourrait quantifier cette vitesse en définissant une dérivée discrète sur l'histogramme.
Peut-être même, cela ne tend pas vers l'uniformité et alors on a une densité limite non uniforme !! encore plus intéressant !

Ce problème excite ma curiosité. Il doit bien avoir déjà été étudié...
Si vous avez des éclaircissements (votre propre réflexion ou des références bibliographiques),
Merci d'avance à ceux qui pourront m'éclairer.


[Evite les titres trop long. Tu as tout le corps du message pour t'exprimer. AD]