Le groupe dicyclique d'ordre 12

Oubli : $T$ est dicyclique signifie que $T$ est une extension d'un groupe cyclique (ici d'ordre 6) par $\Z/2Z$ (c'est le rôle de $b^2$).

Il y a une grande similitude (et des différences importantes) avec le groupe diédral.

Je ne suis pas un spécialiste des groupes dicycliques.

1) Je ne pense pas que $T$ soit une notation universelle.
Déjà pour le groupe diédral de présentation
$$D = \langle a, b \mid a^{2m}=1,\ b^2=1, \ bab^{-1}=a^{-1} \rangle$$
il y a hésitation entre $D_n$ et $D_{2n}$ suivant les auteurs...

2) J'ai écrit la présentation sous la forme
$$T = \langle a, b \mid a^6=1,\ b^2=a^3, \ ba=a^5b \rangle$$
qui indique plus clairement comment on "fait passer les $b$ derrière les $a$" dans un produit, et qui m'a permis de déterminer rapidement les ordres des éléments, en particulier $(a^kb)(a^kb) = a^k(ba^k)b = a^k(a^{5k}b)b = a^{6k}b^2 = b^2$.

Ensuite, $x$ est d'ordre 3, c'est $a^2$ ou $a^4=a^{-2}$, et $y$ d'ordre $4$, c'est l'un des $a^kb$. Comme les choix sont équivalents à isomorphisme près, j'ai choisi les plus simples, $x=a^2$ et $y=b$

3) Pour une présentation en $x$ et $y$ :
$$T = \langle x,y \mid x^3=1,\ y^4 =1, \ yx=x^2y \rangle$$
sauf erreur...

4) Les éléments du groupe sont les $a^k$ et les $a^kb$ avec $0 \leq k \leq 2m$, et la règle du produit $ba = a^{2m-1}b$.
Les ordres des $a^k$ se calculent comme dans tout groupe cyclique...
$(a^kb)(a^kb) = a^k(ba^k)b = a^k(a^{(2m-1)k}b)b = a^{(2m)k}b^2 = b^2 = a^m$.
Donc tous les $a^kb$ sont d'ordre 4.

Pour passer dans ta notation $y$ et $z$, il faut $y$ d'ordre 4, et $z$ d'ordre $m$ : je prends "encore" $y=b$ et $z=a^2$.
La présentation est alors
$$T = \langle x,y \mid z^m=1,\ y^4 =1, \ yz=z^{(m-1)}y \rangle$$

On a "toujours" le produit semi-direct :
$$T = \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \rtimes_{\phi} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$
avec $\phi : \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \rightarrow \textrm{Aut}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$, défini par $\phi(y)= (x \mapsto x^{-1})$.

Re-bonsoir BS

Pour répondre à ta question du jeu 25 janvier 2007 15:23:01
<<
exemple de calcul :$ (xy)^2=(xy).(xy)=xy.xy=x(x^{-1})y=y$ qui est d'ordre 2; donc $ (xy)^2$ est d'ordre 4
>>
Tu sais que $yx = x^{-1}y$, donc il fallait écrire : $\ldots xy.xy=x(x^{-1}y)y=y^2=1$ et $(xy)$ est d'ordre 2.

D'autre part, la présentation $\displaystyle T = \langle a, b \mid a^6=1,\ b^2=a^3, \ bab^{-1}=a^{-1} \rangle$ peut aussi s'écrire :
\begin{center} $\displaystyle T = \langle a, b \mid a^6=1,\ b^4=1,\ b^2=a^3, \ bab^{-1}=a^{-1} \rangle$ \end{center}
qui est redondante, mais a l'avantage de montrer explicitement l'ordre de $b$, et d'autre part qui montre que $T$ est quotient $$T = \frac{\Z/6\Z \rtimes_r \Z/4\Z}{ \langle\ a^3b^{-2}\ \rangle}$$ où $r(b) = (a\mapsto a^{-1})$ et le "dénominateur" est le sous-groupe engendré par $a^3b^{-2}=a^3b^2$.

Alain

bs Écrivait:

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> gb: quand on est spécialiste de tout, on est
> nécessairement spécialiste, entre autre, des
> groupes dicycliques !

Je ne suis spécialiste de rien du tout.


> Un exemple de groupe d'ordre 12 dicyclique : il
> est important lorsqu'on parle d'un objet
> mathématique de façon théorique, d'en exhiber un
> concrètement.

$\mathbb{H}$ est le corps des quaternions, $(1,i,j,k)$ sa base canonique.

Si $a = \cos\dfrac{2\pi}{m} + i\sin\dfrac{2\pi}{m}$ et $b = j$.
Le groupe multiplicatif engendré par $a$ et $b$ est dicyclique d'ordre $4m$.