Algebre
Un sous-groupe A d'un groupe G est dit "quasi-normal" si et seulement s'il permute à tout sous-groupe B de G:
$\forall$ B<=G AB=BA
1)je dois montrer que le produit de deux sous-groupes quasi-normaux de G est un sous-groupe quasi-normal de G
2)Soit A^g=(g^-1)(A)(g) conjugué du sous groupe quasi-normal A,montrer que A^g est un sous-groupe quasi normal de G
$\forall$ B<=G AB=BA
1)je dois montrer que le produit de deux sous-groupes quasi-normaux de G est un sous-groupe quasi-normal de G
2)Soit A^g=(g^-1)(A)(g) conjugué du sous groupe quasi-normal A,montrer que A^g est un sous-groupe quasi normal de G
Réponses
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Bonjour, au revoir, merci, s'il vous plaît...
Qu'as-tu essayé de faire ? Le premier est un jeu d'enfant et le second est à peine plus compliqué. -
Je suis désolée,je suis en pleine révisions et je vais trop vite
Bonjour,
Voilà ce que j'ai essayé de faire:
Soit B un sous-groupe et A un sous-groupe quasi-normal de G
On a alors AB=BA
Soit D un sous-groupe et C un sous-groupe quasi-normal de G
On a alors CD=DC
Le but est-il bien de montrer que ABCD=CDAB ? -
Quelqu'un peut-il m'aider,j'en ai besoin pour demain
-
OK on reprend calmement. Attention aux quatiicateurs. Soient $A$ et $B$ deux sous-groupes quasi-normaux de $G$. Le but est de montrer que {\bf pour tout} sous-groupe $H$ de $G$ alors $AB$ et $H$ commutent. L'idée est d'écrire $ABH=AHB$ puisque $B$ et $H$ commutent, et $AHB=HAB$ puisque $A$ et $H$ commutent, d'où $ABH=HAB$, CQFD.
Maintenant il faut peut-être justifier l'associativité du produit des sous-groupes, mais ce n'est pas trop dur.
Pour la seconde question on écrit : soient $A$ un sous-groupe quasi-normal de $G$ et $g$ un élément de $G$. L'astuce est d'écrire $H=g^{-1}(gHg^{-1})g$ d'où $A^g H = (g^{-1}Ag)(g^{-1}(gHg^{-1})g)=g^{-1}(A (gHg^{-1}))g$ ; or $gHg^{-1}$ est un sous-groupe de $G$ et $A$ est quasi-normal.. je te laisse terminer. -
=(g^-1)((gHg^-1)A)g
apres je seche -
C'est bon,j'ai trouvé une erreur bete de ma part
je te remercie de me répondre ,c'est gentil
Je m'excuse d'oublier les formules de politesse -
Bonsoir Marine
Il faut aussi montrer, comme demandé dans l'énoncé, que le produit de deux sous-groupes quasi-normaux est un sous-groupe de $G$ (qui sera alors quasi-normal selon la démo d'Egoroff).
Si $A$ est un sous-groupe quasi-normal de $G$ et $B$ un sous-groupe de $G$, alors pour tout $a.b\in A.B,\ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=a'b'$ (puisque $BA=AB$ ) et donc $(ab)^{-1}\in AB$
et enfin $(a_1b_1)(a_2b_2)=a_1(b_1a_2)b_2=a_1(a'b')b_2 = (a_1a')(b'b_2)\in AB$
Donc le produit d'un sous-groupe quasi-normal avec un sous-groupe quelconque est un sous-groupe de $G$.
Alain -
Bonsoir Marine
Bien sûr ce que je viens d'écrire a déjà été dit dans le fil :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,350214
Voilà ce qui arrive quand tu crées des nouveaux messages pour les questions successives de ton problème !
Je ferme donc ce fil en te demandant de poursuivre sur le fil initial !
Alain
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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