Treillis des sous-groupes

Bonsoir Guimauve

Oui, il existe de tels groupes. Il me sempble que les cas d'ordre minimum arrivent avec l'ordre 16 où il y a 2 exemples différents :

$G_1 = \Z/8\Z \times \Z/2\Z = \langle a,b\mid a^8=b^2=1,\ ba=ab\rangle$ commutatif
$G_2 = \Z/8\Z \rtimes_{\phi_2} \Z/2\Z = \langle a,b\mid a^8=b^2=1,\ ba=a^5b\rangle$ avec $\phi_2(b) = (a\mapsto a^5)$
Ces 2 groupes ont la même réseau de sous-groupes, qui se correspondent en ordre et même en type.

L'autre exemple d'ordre 16 est
$G_3=\Z/4\Z \times \Z/4\Z = \langle a,b\mid a^4=b^4=1,\ ba=ab\rangle$ commutatif
$G_4=\Z/4\Z \rtimes_{\phi_4} \Z/4\Z = \langle a,b\mid a^4=b^4=1,\ ba=a^{-1}b\rangle$ avec $\phi_4(b) = (a\mapsto a^{-1})$
Ici encore les sous-groupes qui se correspondent sont isomorphes entre eux.

Il est tard, mais si tu veux plus de détails, je pourrais t'en donner demain.

Alain