groupe contenant des involutions

Bonsoir Sylvain

Puisque ton groupe contient une involution, c'est à dire un élément d'ordre 2, alors si ton groupe est fini, son ordre sera pair (Lagrange).

Réciproquement, pour tout entier pair $2n$ il existe un groupe d'ordre $2n$ engendré par 2 involutions. Ce groupe est par exemple $D_{n}$ le groupe diédral des isométries laissant invariant le polygone régulier à $n$ cotés, groupe d'ordre $2n$ qui est engendré par deux symétries l'une par rapport à une diagonale, l'autre par rapport à une apothème.

Alain

Bonsoir Sylvain,

Ce serait plus simple si tu précisais ce que tu cherches à faire.

Alain de donne l'exemple du groupe diédral $D_n$ d'ordre $2n$, il contient $n$ involutions lorsque $n$ est impair mais $n+1$ lorsque $n$ est pair.
Résultat, pour $m = 5$, tu dispose déjà de deux groupes possibles : $D_5$ d'ordre 10, et $D_4$ d'ordre 8.

Tu as aussi des groupes comme $(\Z/2\Z)^n$ dont tous les éléments autres que le neutre sont d'ordre 2. $(\Z/2\Z)^n$ est d'ordre $2^n$ et contient $m = 2^n-1$ involutions ; mais $D_m$ et $D_{m-1}$ contiennent également $m$ involutions.

Si le groupe ne contient, à l'exception du neutre, que des involutions, le groupe est commutatif, tout élément est d'ordre 2, et c'est un $\Z/2\Z$-espace vectoriel. S'il est de dimension $n$, il est d'ordre $2^n$ et isomorphe à $(\Z/2\Z)^n$.

Ce que je voulais dire, c'est que, pour $m$ donné, il existe plusieurs groupes ayant exactement $m$ involutions.

Je ne comprenais pas si tu voulais l'ordre minimal d'un tel groupe, les ordres possibles, les valeurs de $m$ possibles...
Par exemple : le neutre et les involutions sont les éléments du groupe qui sont leurs propres inverses. Les autres éléments peuvent être associés par paires $\{x,x^{-1}\}$ à éléments distincts. S'il y a $k$ telles paires et $m$ involutions, le groupe est d'ordre $n=1+m+2k$, donc $n \equiv m+1 [2]$.
Comme Alain l'a fait remarquer, $n$ doit être pair, donc $m$ impair.

{\it Aucun groupe ne contient un nombre pair d'éléments d'ordre 2.}