sous-groupes de Sylow de S3
Bonjour à tous,
Je cherche à déterminer les sous-groupes de Sylow de $\frak{S}_3$ et j'ai une petite question:
Etant donné que le cardinal de $\frak{S}_3$ est égal à 6 et que $6=3 \times 2$, si je trouve par exemple un sous-groupe d'ordre 2 de $\frak{S}_3$, sera-t-il forcément un sous-groupe de Sylow?
Merci d'avance de votre collaboration et bonne soirée !
Raphael
Je cherche à déterminer les sous-groupes de Sylow de $\frak{S}_3$ et j'ai une petite question:
Etant donné que le cardinal de $\frak{S}_3$ est égal à 6 et que $6=3 \times 2$, si je trouve par exemple un sous-groupe d'ordre 2 de $\frak{S}_3$, sera-t-il forcément un sous-groupe de Sylow?
Merci d'avance de votre collaboration et bonne soirée !
Raphael
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Réponses
Coincoin
p^k \mid n \mathrm{\qquad et \qquad } p^{k+1} \nmid n
$$ alors les $p$-sous-groupes de Sylow sont exactement les sous-groupes de cardinal $p^k$
[edit] dire que $k$ est "le plus grand" entier est un peu redondant avec la suite, on peut opter pour l'un ou l'autre.
Un sous-groupe de Sylow est caractérisé uniquement par son cardinal. Dans $\frak{S}_3$, de cardinal 6, on a donc
les 2-sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 2,
les 3 sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 3
De même dans $\frak{S}_5$, de cardinal $120 = 2^3.3.5$, on a
les 2-sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 8,
les 3-sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 3,
les 5-sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 5.
[Ne pas oublier de cocher la case LaTeX AD]
Pour compléter ce qu'ont dit Jobherzt et Gb, les théorèmes de Sylow affirment qu'un tel p-sous-groupe d'ordre $p^k$ existe toujours, et que tous les p-sous-groupes de Sylow, d'ordre $p^k$ donc, sont conjugués entre eux. En particulier ils sont tous isomorphes.
Alain
en tout cas, merci à tous pour vos informations!
Raphael