projecteur
Pourriez-vous m'expliquer comment montrer qu'une application du type
En fait je sais qu'une application est un projecteur ssi pop = p (ici je n'arrive pas à le faire avec les 3 variables).
Le probleme est que lorsqu'à la place des points il y a à chaque fois des expressions du type 2x+7y+15z, je ne vois pas trop comment m'y prendre.
Et de plus dans un tel cas, comment déterminer une base de E ou F (si l'on suppose que p est un projecteur de E parallelement à F) ?
Cela fait deux questions mais je suis un peu bloqué.
p(x,y,z) = (..., ..., ...)
est un projecteur.En fait je sais qu'une application est un projecteur ssi pop = p (ici je n'arrive pas à le faire avec les 3 variables).
Le probleme est que lorsqu'à la place des points il y a à chaque fois des expressions du type 2x+7y+15z, je ne vois pas trop comment m'y prendre.
Et de plus dans un tel cas, comment déterminer une base de E ou F (si l'on suppose que p est un projecteur de E parallelement à F) ?
Cela fait deux questions mais je suis un peu bloqué.
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Réponses
Où est le problème ?
Tu sais qu'une caractéristique du projecteur est que $p\circ p = p$
Quand $p(x,y,z)=(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))$,
Tu calcules $p\big(p(x,y,z)\big)=p(f_1,f_2,f_3)=\big(f_1(f_1,f_2,f_3),\ f_2(f_1,f_2,f_3),\ f_3(f_1,f_2,f_3)\big)$ en remplaçanr $f_1,f_2, f_3$ par les expressions en $x,y,z$ qui te sont données. Après regroupement et simplifications tu dois trouver que:
$f_1\big(f_1(x,y,z),\ f_2(x,y,z),\ f_3(x,y,z)\big) = f_1(x,y,z)$
et pareil pour $f_2 , f_3$
C'est la traduction de $p\circ p = p$
Si tu veux éviter les calculs, tu peux te contenter de vérifier cette relation sur les 3 vecteurs de la base canonique :
$p\circ p(1,0,0)$ est-il égal à $p(1,0,0)$ ?
et pareil pour les deux autres vecteurs :
$p\circ p(0,1,0)$ est-il égal à $p(0,1,0)$ ?
$p\circ p(0,0,1)$ est-il égal à $p(0,0,1)$ ?
Ensuite on te demande une base de l'image. Cette image est de dimension 1 ou 2, il te faut donc extraire 1 ou 2 vecteurs indépendants des 3 vecteurs
$p(1,0,0)\ ,\ p(0,1,0)\ ,\ p(0,0,1)$.
Essaie le pivot de Gauss par exemple ou tout simplement recherche des combinaisons linéaires (au moins 1, au plus 2) entre ces 3 vecteurs.
Enfin pour trouver la direction de la projection, tu remarques que
Si $u=(x,y,z)$ alors $u-p(u)\in \ker p$, en effet $p\big(u-p(u)\big) = 0$.
alors tu fais pareil, tu calcules
$(1,0,0)-p(1,0,0)\ ,\ (0,1,0)-p(0,1,0)\ ,\ (0,0,1)-p(0,0,1)$ et tu en extrais 2 ou 1 vecteurs libres, qui seront la base du noyau, c'est à dire du sev direction de la projection.
Alain