matrice positive

cedric561 · December 2006

Bonjour

$M$ matrice positive de $M_{n}(\C)$

Comment montrer qu'il existe n vecteurs $v_{i}$ tel que $M=\sum

v_{i}v_{i}^{\star}$ ?

Merci d'avance

Guego · December 2006

Qu'appelles-tu matrice positive dans $M_n(\C)$ ?

cedric561 · December 2006

une matrice hermitienne dont toutes les valeurs propres sont positives.

blue_matematics · December 2006

Bonjour,

Pour montrer l'existence de ces n vecteurs, je te conseille de diagonaliser la matrice. En effet tu sais qu'une matrice hermitienne est diagonalisable, que ses valeurs propres sont reelles (et positives ici) et qu'on peut trouver une matrice de passage unitaire. Une fois que ceci est fait tu n'es plus tres loin de la solution.

LIautard4 · December 2006

Bonjour

Soit vi une base orthonrmale formées de vecteurs propres de M

V un vecteur de C^n ,V= somme des xi.vi

M.V= somme des:xi.M(vi)= somme des ai.xi.vi, ai valeur propre

xi=(vi,V)=vi*.V,produit scalaire hermitien donc

M=somme des ai.vi.vi*

Reste à poser VI=ai^1/2.vi

Codialement

matrice positive

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