exo sur les groupes

Bonjour,

Une méthode pour trouver les générateurs autrement que par tâtonnement:
p étant premier : [(Z/pZ)*,.] est isomorphe à [(Z/(p-1)Z),+).
Il existe donc $\varphi(p-1)$ générateurs pour chacun des deux groupes.

Exemple pour (Z/11Z)*:
1) d'abord , en trouver un : cl(2)
2) considérer l'isomorphisme
$\phi$: [(Z/10Z),+]---> [(Z/11Z)*,+] tel que $\phi(n)=cl(2^n)$.
3) les générateurs de (Z/10Z) sont plus cools à trouver :1,3,7;9.
4) les générateurs de (Z/11Z)* sont alors les images des générateurs de (Z/10Z).
5) exemple : $\phi(7)=cl(2^7)=cl(128)=cl(7)$
6) finalement: cl(2), cl(8), cl(7), cl(6) sont les quatre générateurs recherchés.

Bonne journée.

Bonjour,

Je trouve la preuve du résultat suivant plus intuitive :

Tous sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commmutatif est cyclique.

Preuve :
Soit K un corps commutatif et G un sous-groupe de cardinal n de K*.
On pose $n = p_1^{\alpha_1} ... p_k^{\alpha_k}$ la décomposition en facteurs premiers de n.
On considère le polynôme $P(X)=X^{\frac{n}{p_1^{\alpha_1}}} - 1 $
Il existe $y_1 \in G$ tel que $P(y_1) \neq 0$
Alors $y_1^{p_2^{\alpha_2} ... p_k^{\alpha_k}}$ est d'ordre $p_1^{\alpha_1}$
On fait la même chose pour les autres indices, on multiplie les $y_i$ et on trouve un élément d'ordre n.

Lebesgue

Bonjour

BS > Ta méthode est excellente dès que tu as ton 1), c'est à dire que tu as déjà un générateur de $[(\Z/p\Z)^*,\cdot ]$, mais le problème est justement de trouver un tel générateur.

Lebesgue > Ce que tu as prouvé, c'est que $ y_1^{p_2^{\alpha_2} ... p_k^{\alpha_k}}$ est d'ordre {\bf un diviseur de} $ p_1^{\alpha_1}$.
Tout le problème va être justement d'en trouver un qui soit d'ordre $ p_1^{\alpha_1}$

Guimauve > Je crois que tu confonds $$ dont tu connais un générateur (précisément $x$) avec $[(\Z/p\Z)^*,\cdot ]$ que tu sais être isomorphe au cyclique $$ mais dont tu ne connais pas explicitement le générateur $x$.

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Une méthode pour montrer la cyclicité de $G= (\mathbb{F}_p^*,\cdot)$, est
$G$ est un groupe fini d'ordre $p-1$. Tous ses éléments satisfont $x^{p-1}=1$ (Lagrange).
Donc le polynôme $P(X)=X^{p-1}-1$ s'annule sur tous les éléments de $G$.
Or $\mathbb{F}_p$ est un corps donc $P$, qui est de degré $(p-1)$ a au plus $(p-1)$ racines dans $\mathbb{F}_p$, donc exactement les $(p-1)$ éléments de $G$.
Ces éléments sont donc les $(p-1)$ racines $p$-èmes de 1, donc forment un groupe cyclique d'ordre $(p-1)$
Cette démo se généralise à tout corps fini $\mathbb{F}_q, \ q=p^r$ et à tout sous-groupe fini de $(K^*,\cdot)$ où $K$ est un corps commutatif quelconque.

Comme dit Corentin, trouver un générateur de $(\mathbb{F}_p^*,\cdot)$ consiste en tâtonnements, essayer 2, puis 3, etc. en général on en trouve un assez rapidement, car il y en a quand même $\varphi(p-1)$ qui doit être plus du tiers de $p$ (Borde existe-t-il une minoration de $\varphi(p-1)$ en fonction de $p$ ? )

Alain

J'ai entre-aperçu une demande d'Alain ci-dessus, demande à laquelle je vais tenter de répondre.

Mais avant, rappelons néanmoins que ce problème est équivalent à l'existence ou non de racines primitives modulo $n$. Dans mon livre, j'ai mis deux preuves de cette existence lorsque $n=p$ est premier (théorème 3.29 et corollaire 4.21, que je préfère).

Maintenant, si $p \geqslant 5$, alors la minoration $\displaystyle {\varphi(p-1) > \frac {\ln 2}{2} \, \frac {p-1}{\ln(p-1)}$ est valide.

Dans un post récent, je donnais une majoration de $n\varphi(n)$ valide pour $n \geqslant 3$. En reprenant ce calcul, on a pour $p \geqslant 5$ : $$\varphi(p-1) \gg \frac {p-1}{\ln \ln (p-1)}.$$ Pour des minorations explicites, on se tournera vers le haut-de-gamme constitué par les (fameux !) résultats de Rosser & Schoenfeld (1962, on n'a pas fait mieux, depuis...) : pour $n \geqslant 3$, on a $$\frac{n}{\varphi(n)} < e^{\gamma} \ln \ln n + \frac {2,51}{\ln \ln n}.$$

Borde.

J'ai entre-aperçu une demande d'Alain ci-dessus, demande à laquelle je vais tenter de répondre.

Mais avant, rappelons néanmoins que ce problème est équivalent à l'existence ou non de racines primitives modulo $n$. Dans mon livre, j'ai mis deux preuves de cette existence lorsque $n=p$ est premier (théorème 3.29 et corollaire 4.21, que je préfère).

Maintenant, si $p \geqslant 5$, alors la minoration $\displaystyle {\varphi(p-1) > \frac {\ln 2}{2} \, \frac {p-1}{\ln(p-1)}}$ est valide.

Dans un post récent, je donnais une majoration de $n / \varphi(n)$ valide pour $n \geqslant 3$. En reprenant ce calcul, on a pour $p \geqslant 5$ : $$\varphi(p-1) \gg \frac {p-1}{\ln \ln (p-1)}.$$ Pour des minorations explicites, on se tournera vers le haut-de-gamme constitué par les (fameux !) résultats de Rosser & Schoenfeld (1962, on n'a pas fait mieux, depuis...) : pour $n \geqslant 3$, on a $$\frac{n}{\varphi(n)} < e^{\gamma} \ln \ln n + \frac {2,51}{\ln \ln n}.$$

Borde (message précédent à supprimer. Merci).

bonsoir, bien que je ne connaisse pas grand-chose en théorie des groupes, la lecture de ce fil m'a rappelé que j'avais dévoré étant étudiant le bouquin de warusfel: Structures algébriques finies qui donne pas mal de résultats sur les éléments inversibles de $\Z / n \Z$.