Comment montrer que dans Mn(K) où K est un corps fini ou non,
alors les matrice de transvection Mi,j= Id + Ei,j ( avec i#j) engendrent le sous groupe de Mn(K) constitué des matrices de déterminant valant 1 .
Je suis un peu embêté car je n'évolue pas dans un contexte "universitaire" et n'ai que très peu de livres à ma disposition.
La méthode du pivot de Gauss permet apparemment par des manipulations élémentaires sur les lignes du type ( Li-->Li + a Lj)
; Li---> b Li ; (Li,Lj)--->(Lj,Li) de se ramener à la matrice identité (lorsque la matrice de départ est inversible , ce qui est le cas ici puisque de déterminant=1)
Donc ensuite , le produit (composition) de ces opérations élémentaires que je note T donne TA=Id donc A= T^(-1)
Et donc si toutes ces opérations élémentaires sont des transvections (ou des produits de transvection) c'est OK pour le résultat .
Mais j'ai un souci :
pour l'opération élémentaire de 1er type c'est bien un produit de transvection pour a= q 1 (avec q dans Z) mais si a n'est pas de cette forme ?
Et enfin pour les deux autres opérations je ne vois pas le lien avec des transvections .
Bon , merci d'avance pour un ultime coup de main !
Les opérations d'échange de ligne ne sont pas nécessaires dans le pivot de Gauss : on peut s'en passer. De plus, les opérations du 2ème type (multiplier une ligne) ne sont pas nécessaire lorsque l'on fait le pivot de Gauss sur une matrice de déterminant 1.
Pour inverser une matrice de déterminant 1, on peut donc le faire uniquement avec des matrices de transvections.
Remarque : on a le droit de faire des opérations sur les colonnes aussi, pas que sur les lignes.
OK, mais peux-tu préciser un peu (enfin si le développement n'est pas trop long ! ), pourquoi on n'a pas besoin de multiplier une ligne lorsque le déterminant égal 1.
On choisit la ligne 1 codée $L_1$ comme ligne pivot pour triangulariser la matrice; pour comprendre le rôle des trasvections, il est coutumier d'effectuer en simultané les opérations sur $I_3$ et $A$:
La matrice de transvection $T_{1,2}(-2)$ apparaît donc à gauche à la place de $I_3$.
Il faut maintenant passer à la troisième ligne:
On effectue:
$L_3 \longrightarrow L_3 - 2L_1$ puisqu'il faut éliminer un deux en position (1,3):
on multiplie par la matrice de transvection $T_{1,3}(-2)$
A gauche, on a une matrice $L$ triangulaire inférieure appelée idempotente car la diagonale ne contient que des 1.
A droite une matrice triangulaire supérieure à pivots non nuls $T$; dans mon exemple, les pivots (les termes diagonaux valent 1 car j'ai choisi une matrice simple pour pouvoir effectuer les calculs en venant...
Au passage, on a le fait que le déterminant de $A$ est égal au produit des termes diagonaux de la matrice $T$.
Il reste à poursuivre le travail en transformant tjs par des transvections la matrice $T$ en $I_3$ et ceci se commence en effectuant:
$L_2 \longrightarrow L_2 + L_3$ puisqu'il faut éliminer un -1 en position (2,3):
on multiplie par la matrice de transvection $T_{3,2}(1)$
je vous laisse finir...
En écrivant ceci sous forme algorithmique, on peut en déduire une démonstration par récurrence du fait que la famille des transvections engendre $G_{l,n}(\K)$.
En fait, effectuer $L_j \longrightarrow L_j + aL_i$
revient à multiplier à gauche $A$ par $T_{i,j}(a)$.
Mais finalement j'ai un doute sur les définitions .
Est ce que la notion de matrice de transvection est bien celle que j'ai donnée initialement , c'est à dire Ti,j= Id + Ei,j avec Ei,j à coef nuls partout sauf ai,j= 1 ( avec 1 élément neutre de la multiplication dans le corps considéré) ?
Car dans vos manipulations on a effectivement des produits de transvections c'est à dire faire Lj---> Lj+a Li revient à composer a fois (Ti,j)
c'est à dire a de la forme a.1 (a fois 1) a dans Z
que se passe t-il lorsque l'élément a du corps n'est pas de cette forme . Peut-on encore parler de transvection , à moins que la définition d'une transvection soit :
Ti,j= Id + a Ei,j où a est un élément quelconque du corps .
Je comprends mieux maintenant la remarque que tu avais faite sur le fil "sujet ENS 2006" où tu indiquais que la question 6b pouvait être faite sans utiliser la question 4 .
dans Z/pZ (corps ) alors GLn(Z/pZ) est engendré par les matrices de transvection , donc Sln(Z/pZ) (matrices de déterminant 1 ) est aussi engendré par cette même famille .
Et comme dans Z/pZ tout élément s'écrit k (1~) une transvection est bien une composée de transvection(ou de leur inverse) au sens restreint où je l'entendais ( c'est à dire Id + Ei,j)
Réponses
Va voir dans l'excellent Algèbre Géométrique de Artin, c'est bien expliqué.
Vincent
Je suis un peu embêté car je n'évolue pas dans un contexte "universitaire" et n'ai que très peu de livres à ma disposition.
La méthode du pivot de Gauss permet apparemment par des manipulations élémentaires sur les lignes du type ( Li-->Li + a Lj)
; Li---> b Li ; (Li,Lj)--->(Lj,Li) de se ramener à la matrice identité (lorsque la matrice de départ est inversible , ce qui est le cas ici puisque de déterminant=1)
Donc ensuite , le produit (composition) de ces opérations élémentaires que je note T donne TA=Id donc A= T^(-1)
Et donc si toutes ces opérations élémentaires sont des transvections (ou des produits de transvection) c'est OK pour le résultat .
Mais j'ai un souci :
pour l'opération élémentaire de 1er type c'est bien un produit de transvection pour a= q 1 (avec q dans Z) mais si a n'est pas de cette forme ?
Et enfin pour les deux autres opérations je ne vois pas le lien avec des transvections .
Bon , merci d'avance pour un ultime coup de main !
Madec
Pour inverser une matrice de déterminant 1, on peut donc le faire uniquement avec des matrices de transvections.
Remarque : on a le droit de faire des opérations sur les colonnes aussi, pas que sur les lignes.
OK, mais peux-tu préciser un peu (enfin si le développement n'est pas trop long ! ), pourquoi on n'a pas besoin de multiplier une ligne lorsque le déterminant égal 1.
$A = \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} $
On choisit la ligne 1 codée $L_1$ comme ligne pivot pour triangulariser la matrice; pour comprendre le rôle des trasvections, il est coutumier d'effectuer en simultané les opérations sur $I_3$ et $A$:
on élimine le 2 en position (2,1):
$ \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} $
On code cette opération $L_2 \longrightarrow L_2 - 2L_1$:
$ \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} $
La matrice de transvection $T_{1,2}(-2)$ apparaît donc à gauche à la place de $I_3$.
Il faut maintenant passer à la troisième ligne:
On effectue:
$L_3 \longrightarrow L_3 - 2L_1$ puisqu'il faut éliminer un deux en position (1,3):
on multiplie par la matrice de transvection $T_{1,3}(-2)$
$ \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} $
On effectue:
$L_3 \longrightarrow L_3 + L_2$ puisqu'il faut éliminer un -1 en position (2,3):
on multiplie par la matrice de transvection $T_{2,3}(1)$
$ \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -4 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $
A gauche, on a une matrice $L$ triangulaire inférieure appelée idempotente car la diagonale ne contient que des 1.
A droite une matrice triangulaire supérieure à pivots non nuls $T$; dans mon exemple, les pivots (les termes diagonaux valent 1 car j'ai choisi une matrice simple pour pouvoir effectuer les calculs en venant...
Au passage, on a le fait que le déterminant de $A$ est égal au produit des termes diagonaux de la matrice $T$.
Il reste à poursuivre le travail en transformant tjs par des transvections la matrice $T$ en $I_3$ et ceci se commence en effectuant:
$L_2 \longrightarrow L_2 + L_3$ puisqu'il faut éliminer un -1 en position (2,3):
on multiplie par la matrice de transvection $T_{3,2}(1)$
$ \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -4 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $
je vous laisse finir...
En écrivant ceci sous forme algorithmique, on peut en déduire une démonstration par récurrence du fait que la famille des transvections engendre $G_{l,n}(\K)$.
En fait, effectuer $L_j \longrightarrow L_j + aL_i$
revient à multiplier à gauche $A$ par $T_{i,j}(a)$.
Mais finalement j'ai un doute sur les définitions .
Est ce que la notion de matrice de transvection est bien celle que j'ai donnée initialement , c'est à dire Ti,j= Id + Ei,j avec Ei,j à coef nuls partout sauf ai,j= 1 ( avec 1 élément neutre de la multiplication dans le corps considéré) ?
Car dans vos manipulations on a effectivement des produits de transvections c'est à dire faire Lj---> Lj+a Li revient à composer a fois (Ti,j)
c'est à dire a de la forme a.1 (a fois 1) a dans Z
que se passe t-il lorsque l'élément a du corps n'est pas de cette forme . Peut-on encore parler de transvection , à moins que la définition d'une transvection soit :
Ti,j= Id + a Ei,j où a est un élément quelconque du corps .
Madec
Je comprends mieux maintenant la remarque que tu avais faite sur le fil "sujet ENS 2006" où tu indiquais que la question 6b pouvait être faite sans utiliser la question 4 .
dans Z/pZ (corps ) alors GLn(Z/pZ) est engendré par les matrices de transvection , donc Sln(Z/pZ) (matrices de déterminant 1 ) est aussi engendré par cette même famille .
Et comme dans Z/pZ tout élément s'écrit k (1~) une transvection est bien une composée de transvection(ou de leur inverse) au sens restreint où je l'entendais ( c'est à dire Id + Ei,j)
Madec