algèbre linéaire

bonjour

j'ai fais un sujet de concours et il y a deux questions que je n'arrive pas à faire je vous donne l'énnoncé



soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$ soit $f$ un endomorphisme de $E$ et $p>1$ un entier

on dit que $f$ est cyclique d'ordre $p$ si il existe $a\in E$ vérifiant les trois conditions suivantes

1) $f^{p}(a)=a$
2) les vecteurs $(a,f(a),...,f^{p-1}(a)$ sont deux à deux distincts
3) la famille $(a,f(a),...,f^{p-1}(a)$ engendre $E$

les questions

celle que je ne réussis pas à faire

si $f$ est un cycle d'ordre n montrer que la famille $(a,f(a),...,f^{n-1}(a))$
est une famille libre

dans la suite je donne l'énoncé pour comprendre le problème mais j'ai répondu à toutes les questions sauf les deux dernières

Soit $f$ un endomorphisme cyclique d'ordre $p$ et $(a,f(a),...,f^{p-1}(a)$
un cycle (ils appellent ) pour tout entier $k\geq 1$ on pose $F_{k}=(a,f(a),...,f^{k-1}(a)$

1) démontrer que $p\geq n$ et que les vecteurs de $F_{p}$ sont invariants par $f^{p}$
2) en déduire que $f^{p}=Id_{E}$ et que $f$ est bijective
3) démontrer que, si $F_{k} $ est libre alors $k\leq n$

dans toute la suite on note $m$ le plus grand entier tel que $F_{m}$
sot libre

4) démontrer par récurence sur $q$ que pour tout entier naturel $q\geq m$ $f^{q}(a)$ est combinaison linéaire des vecteurs de $F_{m}$


5) démontrer que $F_{m}$ est une base de $E$ et que $m=n$

on note $\alpha_{0},...,\alpha_{n-1}$ les coordonées de $f^{n}(a)$ dans la base $F_{n}$

on pose $g=\sum_{i=0}^{n-1} \alpha_{i} f^{i}$
6) démontrer que pour tout entier $q$ on a $gof^{q}=f^{q}og$ et $g(f^{q}(a))=f^{n}(f^{q}(a))$
7) démontrer que $g=f^{n}$ et donner la matrice $B$ de $f$ dans la base $F_{n}$

8) démontrer que 0 n'est pas valeur propre de $f$
9) soit $ \lambda $ une valeur propre de $f$ démontrer que le sous espace propre associé à $\lambda$ est une droite vectorielle

d
Dnc ceux sont les questions 8 et 9 que je n'arrive pas à faire
enfin la 8 si j'utilise le déterminant de la matrice car c'est le terme constant dans le polynôme caractéristique.
On remarque que la matrice $B$ obtenue est la matrice compagnon du polynôme $P(X)=\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_{i} X^{i}$
moi j'en déduit que $f^{n}(x)=0$ pour tout $x$ et c'est la que ça coince


merci de votre aide

geoffrey