semi-simple

leon_eniot · November 2006

Bonjour,
Agregatif sans prétention, je m'apprête à présenter un certain nombre de développements classiques (voir surannés), notamment le fameux exercice "endomorphismes semi-simples" pris dans Gourdon ; et deux questions me sont venues (parmi lesquelles un certain nombre de sous-questions, désolé pour le vrac) :

1-quelqu'un aurait-il la preuve du Dunford généralisé (tout f s'écrit semi-simple+nilpotent) évoqué par G. ?
Mes idées de preuves n'aboutissent pas :
1-1 faire pareil que pour Dunford, ie on se ramène à : polynôme minimal de f est puissance d'un irréductible P, on prend P(f) pour le nilpotent...
1-2 faire Dunford dans la clôture algébrique...
Les ... c'est pour : "je bloque".

2-c'est quoi semi-simple, ie : simplicité et semi-simplicité sont des notions que j'ai vues ou entrevues dans plusieurs domaines (groupes, anneaux [je crois], modules [je crois], quoi d'autres ?), et j'ai l'impression que l'idée tourne toujours autour de la possibilité ou non de décomposer l'espace de travail ;
c'est très clair pour les groupes simples, et les endomorphismes semi-simples ;
je suppose qu'un endomorphisme simple a ses seuls sev stables qui sont {e} et E ?
2-1 c'est quoi un groupe semi-simple ?
2-2 une sous-algèbre irréductible de L(E) [cf Tauvel - exos d'algèbre pour l'agreg T2 - je sais plus quelle page][cf aussi X90 M' 2ème épreuve], j'imagine que c'est juste un autre terme [que je préfère, d'ailleurs, pas vous ?] en tout cas ça ressemble ; et d'ailleurs, une algèbre réductible, on fait quoi avec, exactement (j'ai bien une idée, mais ne me pose qu'à l'instant la question) ?

j'avais d'autres questions, je crois, mais je me suis un peu paumé tout seul (mais sur ce thème, ça fait un petit moment que je le suis).

merci d'avance pour le moindre éclaircissement.

Lucas6 · November 2006

Bonjour,

Juste une petite remarque à propos de ton message, mais qui ne va pas vraiment répondre à tes questions...

> développements classiques (voir surannés), notamment
> le fameux exercice "endomorphismes semi-simples" pris dans Gourdon

C'est effectivement assez classique, mais c'est d'un niveau plus que correct. Si tu le présentes bien c'est très payant. Je connais quelqu'un qui a eu 18 en présentant ce développement (il a géré pendant la discussion après le dvpt j'imagine).

leon_eniot · November 2006

merci pour la remarque, encourageante

Ben pas loggué · November 2006

Pour une preuve de Dunford originale, vous pouvez aller voir sur la page de Daniel Ferrand, sur le site de l'université Rennes 1. Elle permet de disposer d'un algorithme effectif pour calculer la décomposition sans passer par le calcul des valeurs propres.
Pour la notion de semi-simplicité, on dispose effectivement de celle de module semi-simple. Mais faire le lien avec la preuve de Gourdon demande un peu de travail.

Rumsfell · November 2006

j'ai vu cet exo a l'oral d'agreg;

on ecrit A=S+N et on suppose que Ker S=Ker N

que peut-on dire de A ?

leon_eniot · November 2006

merci !
je vais lire et digérer, et revenir en deuxième semaine

Pilz · November 2006

regarde ausi dans objectif agrég

ADSJ0 · November 2006

Soit $A$ réelle. On écrit sa décomposition de Dunford dans $\C$, on a $A=D+N$ acec $D$ et $N$ complexes.
Mais $A= \overline{A}=\overline{D}+\overline{N}$.
Or $\overline{D}$ est encore diagonalisable et $\overline{N}$ nilpotente, de plus ces deux matrices commutent car $\overline{D} \times \overline{N}=\overline{DN}
=\overline{ND}=\overline{N} \times \overline{D}$.
On conclut par l'unicité de la décomposition de Dunford que
$D=\overline{D}$ et $N=\overline{N}$....

leon_eniot · November 2006

Merci les gars, c'est très gentil, mais ça, moi aussi je peux le pondre...

Ben : encore merci pour la ref ; j'y ai trouvé aussi le lien anneaux/endomorphismes semi-simples ; pas si rebutant, et très éclairant.

ADSJ0 · November 2006

"Merci les gars, c'est très gentil, mais ça, moi aussi je peux le pondre..."
que veux-tu dire par là?

seb · November 2006

Noter que la décomposition de Dunford généralisée (semi-simple + nilpotent) n'existe pas dans tous les corps : il faut une hypothèse de séparabilité ou une condition sur le polynôme minimal de l'endomorphisme. Pour s'en convaincre, on peut regarder la matrice compagnon associée au polynôme $X^p-T$ dans le corps $\mathbb{F}_p(T)$.

La seule démonstration "simple" au niveau agreg de ce résultat est celle donnée par adsj dans le cas du corps des complexes. Le papier de Daniel Ferrand évoqué par Ben donne le résultat dans le cas général, et même plus.

Enfin j'indiquerai seulement que la preuve de Gourdon est un peu "glissante" pour l'agreg car, en fait, il fait des modules sans le dire. Il y a alors 2 possibilités : soit vous maîtrisez les modules et dans ce cas il y a une preuve plus conceptuelle et plus intéressante (puisqu'elle montre que vous avez bien compris où sont les difficultés), soit vous ne les maîtrisez pas et le jury peut vous posez des questions embarrassantes.

Seb

leon_eniot · November 2006

adsj : eh bien que c'est un peu nase, comme résultat, et que mettre ça dans un bouquin et appeler ça "objectif agreg", c'est limite, et que quand je dis que je me pose des questions, c'est pas une figure de style.

seb :
<<Noter que la décomposition de Dunford généralisée (semi-simple + nilpotent) n'existe pas dans tous les corps>>
c'est effectivement ce que j'ai appris avec la preuve de Daniel Ferrand (avec laquelle je me suis régalé !), et c'est quand même sur ce point, si je me souviens bien, que Gourdon y va un peu fort... pas encore étudié le contre-exemple, ni encore compris d'où venait cette superbe idée de faire Newton.
Je ne suis pas entièrement d'accord sur le côté glissant, mais ta remarque est judicieuse (et éclaircie par un autre poly du même site)

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