dim de l'espace des matrices diagonales

Bonjour ,

Exemple:
avec n=2 pour faire simple (et avec k de car#2)
E11+E12-E22 et -E11+E22 sont diagonalisables et leur somme E12 ne l'est pas

Oump.

[Corrigé selon ton indication. AD]

Ah, ce bon vieux livre de recettes !

Variations sur ce thème:on a aussi,
1) Toute matrice de $M_n(\R)$ peut être décomposée en somme de deux matrices diagonalisables.
2) A et B diagonalisables ====> AB (ou BA ) diagonalisable ?
3) AB diagonalisable =====> BA diagonalisable ?

Bonne journée.

Petits compléments:
L'ensemble des matrices diagonalisables est un cône non convexe puisque n'est pas stable par milieu.
Les matrices $\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&3 \end{pmatrix}$ et
$\begin{pmatrix} -1&1\\ 0&-3 \end{pmatrix}$ sont diagonalisables, mais leur milieu $\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$ ne l'est plus.

Enfin, dans le cas de $\C$, l'espace vectoriel engenfré par les matrices diagonalisables est $\M_n(\C)$ tout entier... voir un post assez récent.

Si tu considères le plus grand espace vectoriel constitue de matrice diagonalisable de Mn(R), sa dimension est n(n+1)/2. Demo : tu prends l'ensemble des matrices triangulaires stricts de dimension n(n-1)/2 (en disant que (Eij) 1<=i<j<=n est une base). Tu prends l'intersection de l'espace des matrice diagonalisable et des triangulaires stricts, il n'y a que la matrice nulle, car toutes ses valeurs propres sont nulles ou sinon tu dis qu'elle est nilpotente. Ainsi la dimension de ton espace vectoriel constitue de matrices diagonalisable est inférieur a n(n+1)/2. Cas d'égalité pour ton espace vectoriel qui est l'ensemble des matrices symétriques