normes de matices

ryo · October 2006

bonjour j'ai un petit trou dans une demo ou je veux montrer qu'une matrice $M^tM$ est symetrique definie positive pour $M \in GL_n(\R)$.

C'est le positive qui me bloque parce que je voudrais sortir une norme "qui va bien" pour montrer ca mais impossible de me souvenir ce que donnent les normes usuelles de $\R^n$ quand on les passent sur les matrices

Et ensuite j'utilise a un autre moment la norme sur $M_n(\R)$ donne par $||M||=(Tr(M^tM))^{\frac{1}{2}}$. Je voudrais savoir de quelle norme ca vient (enfin si ca vient bien d'une norme de $\R^n$), il me semble que c'est la norme euclidienne mais j'en suis pas du tout convaincu.

Merci d'avance

le poulpe · October 2006

pour montrer qu'une matrice N est positive, on montre que (NX|X) est positive pour tout X
dans ce cas avec N = M^tM, on a
(NX|X) = X^tM^tMX = (MX)^tMX = (MX|MX)
et on a directement le défini positif
pas la peine d'introduire de norme

sinon, la norme que tu introduis est bien une norme (très classique et importante)

ps : comment prouver que c'est une norme sans avoir prouvé avant que M^tM était définie positive (si ce n'était pas le cas, la trace pourrait être négative)

ryo · October 2006

oui c'est beaucoup plus simple ce que tu me proposes, je sais pas pourquoi j'ai voulu aller chercher un truc avec une norme

Concernant ton ps, j'introduis cette norme plus tard et donc en theorie j'ai deja prouve que $M^tM$ est definie positive ce que je n'arrivai pas a faire et du coup la trace est forcement >0

Merci le poulpe

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