Disons que tes matrices sont de taille n, tu as n^2 inconnues et n^2 équations. Tu es bien parti ...
De plus ton système est linéaire en les coefficients de X.
Il te suffit de réécrire ton système sous la forme linéaire classique et de conclure, la forme linéaire classique fera intervenir une grosse matrice à n^2 lignes et n^2 colonnes.
donc il y a pas une solution pour cette probléme??
j ai fait un programme qui calcule les valeurs propres d'une matrice A.ces valeurs se trouvent sur le diagonal de la matrice C.c'est pourcela on trouve :
A*X=X*C
ou X est a matrices des vecteurs propres.
je veux continuer le programme en calculant la matrice X.c pourcela que j ai posé la question.
Vous avez juste l'assurance que votre problème a une solution.
Théorème de Roth(1952)
Soit $A\in\mathcal{M}_{m,m}$, $B\in\mathcal{M}_{n,n}$ et $C\in\mathcal{M}_{m,n}$.
\begin{enumerate}
\item[a)] L'équation $AX-XB=C$ a une solution $X\in\mathcal{M}_{m,n}$ si et seulement si les matrices $\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B \\
\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}
A & C \\
0 & B \\
\end{pmatrix}$ sont semblables.
\item[b)] L'équation $AX-YB=C$ a une solution $X,Y\in\mathcal{M}_{m,n}$ si et seulement si les matrices $\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B \\
\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}
A & C \\
0 & B \\
\end{pmatrix}$ ont le même rang.
\end{enumerate}
J'ai regardé dans un autre bouquin. L'équation matricielle $AX-XB=C$ s'appelle une équation matricielle de Sylvester et il existe un critère d'unicité de la solution pour toute matrice $C$ : il faut que les matrices $A$ et $B$ n'aient pas de valeurs propres communes.
Si les matrices $A$ et $B$ ont une valeur propre commune l'équation homogène de Sylvester ($AX-XB=0$) admet une solution non nulle mais l'équation non-homogène ($AX-XB=C$, $C\neq0$) n'admet pas de solution pour tout $C$.
En fait dans l'équation:AX=XB
B est la matrice de valeurs propres de A donc c'est sûr qu'ils ont les mêmes valeurs propres. Donc je pense que l'équation admet une solution non nulle.
Comment on peut calculer cette solution ? Est-ce qu'elle est stable si je veux un programme pour le calculer
Comme il t'a été dit, cela se ramène à un système linéaire et il y a des techniques pour résoudre numériquement les systèmes linéaires, matrices de Hessenberg, décomposition en valeurs singulières (SVD), ça se trouve dans les bouquins d'analyse numérique.
Prasolov, Problems and theorems in linear algebra, AMS, 1994, qui renvoie en biblio à l'article de Roth, \it{The equations $AX-YB=C$ et $AX-XB=C$ in matrices}, publié dans Proc. Amer. Math. Soc. 3(1952), 392-396.
La condition d'unicité portant sur les valeurs propres se trouve dans Godounov, Modern aspects of linear algebra, AMS, 1998.
si $A$ et $B$ n'ont pas de valeurs propres en commun:\\
les opérateurs $D_A(M)=AM$ et $G_B(M)=MB$ commutent, sont donc trigonalisables dans une même base dans $\mathbb{C}$, et donc leur somme est clairement inversible dans $M_n(\mathbb{C})$ car $A$ et $B$ n'ont pas de valeur propre en commun.(calculer le polynôme minimal de $D_A$ en fonction de celui de $A$ etc ..)
Réponses
Disons que tes matrices sont de taille n, tu as n^2 inconnues et n^2 équations. Tu es bien parti ...
De plus ton système est linéaire en les coefficients de X.
Il te suffit de réécrire ton système sous la forme linéaire classique et de conclure, la forme linéaire classique fera intervenir une grosse matrice à n^2 lignes et n^2 colonnes.
si tu veux tu peux faire l'exo suivant
on prend n = 2 et on montre que la dimension de l'espace vectoriel des tels X est différente de 3...
j ai fait un programme qui calcule les valeurs propres d'une matrice A.ces valeurs se trouvent sur le diagonal de la matrice C.c'est pourcela on trouve :
A*X=X*C
ou X est a matrices des vecteurs propres.
je veux continuer le programme en calculant la matrice X.c pourcela que j ai posé la question.
merci.
Théorème de Roth(1952)
Soit $A\in\mathcal{M}_{m,m}$, $B\in\mathcal{M}_{n,n}$ et $C\in\mathcal{M}_{m,n}$.
\begin{enumerate}
\item[a)] L'équation $AX-XB=C$ a une solution $X\in\mathcal{M}_{m,n}$ si et seulement si les matrices $\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B \\
\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}
A & C \\
0 & B \\
\end{pmatrix}$ sont semblables.
\item[b)] L'équation $AX-YB=C$ a une solution $X,Y\in\mathcal{M}_{m,n}$ si et seulement si les matrices $\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B \\
\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}
A & C \\
0 & B \\
\end{pmatrix}$ ont le même rang.
\end{enumerate}
Si les matrices $A$ et $B$ ont une valeur propre commune l'équation homogène de Sylvester ($AX-XB=0$) admet une solution non nulle mais l'équation non-homogène ($AX-XB=C$, $C\neq0$) n'admet pas de solution pour tout $C$.
B est la matrice de valeurs propres de A donc c'est sûr qu'ils ont les mêmes valeurs propres. Donc je pense que l'équation admet une solution non nulle.
Comment on peut calculer cette solution ? Est-ce qu'elle est stable si je veux un programme pour le calculer
Merci
Tu peux aussi aller jeter un oeil sur :
<http://www.library.cornell.edu/nr/cbookcpdf.html> chap 11
Alain
As-tu une référence pour la preuve du théorème de Roth 1952 ?
Merci
La condition d'unicité portant sur les valeurs propres se trouve dans Godounov, Modern aspects of linear algebra, AMS, 1998.
les opérateurs $D_A(M)=AM$ et $G_B(M)=MB$ commutent, sont donc trigonalisables dans une même base dans $\mathbb{C}$, et donc leur somme est clairement inversible dans $M_n(\mathbb{C})$ car $A$ et $B$ n'ont pas de valeur propre en commun.(calculer le polynôme minimal de $D_A$ en fonction de celui de $A$ etc ..)
As-tu une référence pour la preuve du théorème de Roth 1952 ?
Merci
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C'est dans le Mneimné--Cassini (page 261) et sans doute dans le Mneimné--2006.