exo niveau x (plutot dur je crois)

Salut,

Je suis moi aussi incapable de répondre.. parce que je ne comprends pas l'énoncé : P(a,b,c) est un nombre complexe fixé, il est nul ou bien il ne l'est pas. Que veut dire "P(a,b,c) s'annule en les points d'un triangle équilatéral" ?

Salut bisam,


Je pense que ta traduction est la bonne. On commencerait par écrire que $a,b,c$ forment un triangle équilatéral ssi $(a+jb+j^2 c)(a+j^2 b +jc)=0$ si ma mémoire est bonne et.. est-ce qu'on pourrait en déduire que l'ensemble cherché est l'idéal de $\C [X,Y,Z]$ engendré par $(X+jY+j^2 Z)(X+j^2 Y +jZ)$ ?

Egoroff, tu n'es pas très loin... Posons $P_0=(X+jY+j^2 Z)(X+j^2 Y +jZ)$. $P_0$ est de degré 2 en $X$. Si $P$ vérifie les conditions de l'énoncé, $P$ s'écrit $P=Q(X,Y,Z).P_0+A(Y,Z)X+B(Y,Z)$ (division euclidienne dans $\C[Y,Z][X]$). Reste à montrer que les deux polynômes $A$ et $B$ sont nuls. Fixons pour cela $y$ et $z$ distincts dans $\C$. Il existe alors deux complexes $x$ et $x'$ tels que $(x,y,z)$ et $(x',y,z)$ soient deux triangles équilatéraux.

On a alors $A(y,z)x+B(y,z)=A(y,z)x'+B(y,z)=0$, ce qui entraine que $A(y,z)$ et $B(y,z)$ sont nuls. Par densité, $A$ et $B$ s'annulent sur tout $\C^2$ et on a fini.
Cordialement,
Laotseu.

bonjour,
je crois que c'est
a,b,c triangle équilatéral <=> a + jb + j²c = 0 avec j³=1.
(=> a,c,b équilatéral => a + j²b + jc = 0)

Ou alors on montre que P s'annule sur un ouvert et donc le complémentaire n'est pas dense (exo classique)

donc P est nul

oui excusez-moi je me suis trompé mais bisam a bien deviné ce que je voulais dire

merci beaucoup pour votre aide!!

le poulpe pourrais-tu détailler ta remarque ?

Pour P un polynôme a plusieurs indeterminées, l'ensembles de point de R^n ou il ne s'annule pas est dense sauf si P est nul.

ça se montre assez facilement par récurrence.
Par exemple pour n = 2, P = P_0(X) + YP_1(X) + Y^kP_k(X)

si P s'annule sur un ouvert, on peut fixer X et obtenir que le polynome admet un nombre infini de racines en Y. Chacun des polynomes P_i s'annule donc en X.
Puis, en prenant un nombre infini de X (en fixant Y), ils sont tous nuls.

Bon faut détailler encore un peu mais l'esprit est là.

Laotseu : joli ! J'aurais du penser à la division euclidienne, c'est ce qu'on utilise lorsqu'il n'y a qu'une indéterminée... Mais je ne suis pas très à l'aise avec les polynômes à plusieurs indéterminées. En tous cas merci.


GG : je pense qu'il manque "direct" après "équilatéral" dans tes équivalences ? ou alors c'est implicite ?


t-mouss : c'est un grand classique je crois.. tu le saurais si tu avais été dans une prépa où on lèche des posters ;-) Blague à part, pour la démo, c'est une bonne idée de dire pour commencer que $1,j,j^2$ est équilatéral direct (un petit abus de langage, je confonds les points et leurs affixes), et vérifient $1.1 + j.j + j^2.j^2 = 0$. Deux triangles équilatéraux directs sont images l'un de l'autre par une similitude directe, c'est-à-dire, en termes de complexes, une application affine. Donc $a,b,c$ est équilatéral direct si et seulement s'il existe $\alpha \in \C^*$ et $\beta \in \C$ tels que $a=\alpha.1 + \beta$, $b=\alpha j + \beta$ et $c=\alpha j^2 + \beta$. Avec ça on peut se ramener à $1.1 + j.j + j^2.j^2 = 0$ et conclure, et pis on fait la même pour les triangles indirects.