Matrices semblables

Madec0 · June 2006

Bonsoir ,

Le résultat suivant est t-il vrai et si oui comment le démontre t-on ?

Si A et B sont deux matrices de Mn(R) alors si A et B sont semblables dans Mn(C) elles sont semblables dans Mn(R)

si B= P ' A P (avec ' pour l'inverse)
alors PB =AP

en décomposant P = R +i S
on arrive à (R + iS)B= A(R+iS) soit RB=AR et SB=AS
et donc si R ou S est inversible alors c'est gagné mais malheureusement on peut avoir P inversible sans que ni R ni S le soient ....

Comme (R+S)B=A(R+S) (ou avec R-S) montrer l'inversibilité de R+S (ou R-S) permet aussi de conclure mais si j'exploite l'inversibilité de P
Celà dit que le système ;

RX -SY =0
SX + RY =0
est de Cramer , mais je ne vois pas comment en déduire que R+S (ou R-S) sont inversibles ...
Bref je patachonne , et remercie d'avance pour une aide .

Madec

Cédric ALLALI · June 2006

Bonjour,

De RB=AR et SB=AS on a, en posant P(x)=R+xS : P(x)B=AP(x).

Le polynôme det(P(x)) est non identiquement nul sur C (puisque det(P(i)) est non nul), il admet donc un nombre fini de racine. Il existe donc un réel s non tel que det(P(s)) soit non nul, i.e P(s) est inversible et P(s) réelle.

On a donc B=P(s)^-1AP(s)

le poulpe · June 2006

un indice :

det (R+xS) est un polynome en x non nul.
Il a donc des non-racines reelles!

Madec0 · June 2006

Merci Cédric et Le Poulpe

C'est joli et conci !

Madec

le poulpe · June 2006

de rien

Cédric ALLALI · June 2006

De rien également.

lalligator · June 2006

bonsoir Madec,

l'exercice 0.11.43 page 46 du Mneimné de Cassini pourrait vous intéresser.

Madec0 · June 2006

Bonjour Lalligator ,

Merci pour cette référence , mais je n'ai pas ce bouquin ( je ne suis plus étudiant depuis fort longtemps et ne fréquente pas les bibliothèques !). De quoi parle donc cet exercice ?

Madec

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Bonjour!

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