On peut procéder par récurrence sur n (la matrice est dans Mn(R)).
Pour n=1, il n'y a rien à faire.
Maintenant, montrons qu'une val propre de ta matrice est forcément réelle :
Soit $\lambda$ une vap et $x$ un vep associé:
$=\lambda==conj(\lamda)$ (dsl, je ne sais aps faire la barre en LaTeX).
Ainsi, $\lambda$ est égale à son conjugué et est par conséquent réel.
On peut à présent faire la récurrence:
Si $A\in M_{n+1}(\R)$, alors $A$ admet une valeur propre complexe $\lambda$ mais on vient de voir qu'elle est en réalité réelle. On écrit $E=E(\lambda) \opluls F$ avec $F$ de dim $
Très bien, juste il faut dire que l'endo et la matrice considérés sont tels que l'endo soit l'unique endomorphisme qui représente cette matrice dans une base ORTHONORMéE qu'on suppose avoir fixé au tout début . Il me semble.
dans le cas d'une matrice A symétrique 2x2 (avec a et b complexes distincts et non nuls)
(a b)
(b a)
les valeurs propres sont distinctes : a+b et a-b et la matrice A est diagonalisable
dans le cas d'une matrice A de format 3x3 il faut calculer les valeurs propres; dans le cas de A =
(b a a)
(a b a)
(a a b)
il existe 2 valeurs propres b - a (valeur simple) et b + 2a (valeur double)
et A n'est pas diagonalisable (a fortiori si a = b) ce qui n'empêche pas de calculer A^n par la méthode des suites récurrentes
Cédric > je trouve ça bizarre d'utiliser un produit scalaire hermitien alors qu'on raisonne sur une symétrique réelle (ceci dit, c'est valable).
Raisonner matriciellement est peut-être plus naturel :
<http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_spectral>
question de goût tout à fait personnel, on va dire ;-)
Montrons que A symétrique réelle possède une vap réelle.
Posons q(x) = (Ax|x). Sa différentielle vaut q'(x)(h) = 2(Ax|h).
Par compacité de la sphère unité, elle y atteint son sup et son inf.
Soit x un point extrémal.
Alors q'(x) s'annule sur le plan tangent à la sphère en x.
Or h -> (x|h) s'y annule aussi.
Ces deux formes linéaires ont donc meme noyau et sont proportionnelles.
Ce qui montre que x est un vecteur propre et bien sur la vap associée est réelle.
il y a le même genre de démo que le Poulpe pour montrer que si $T$ est un opérateur compact symetrique alors il est diagonalisable, en regardant les extrémum de $(Tx,x)$ sur la boule unité. Je trouve ca jolie car cela se concoit assez bien géométriquement en regardant l'ellipsoide associé.
On peut procéder par récurrence sur $n$ (la matrice est dans $M_n(\R)$).
Pour $n=1$, il n'y a rien à faire.
Maintenant, montrons qu'une val propre de ta matrice est forcément réelle :
Soit $\lambda$ une vap et $x$ un vep associé:
$=\lambda = = \overline{\lambda} $
Ainsi, $\lambda = \overline{\lambda}$ et par conséquent $\lambda$ est réel.
On peut à présent faire la récurrence:
Si $A \in M_{n+1}(\mathbb{R})$, alors $A$ admet une valeur propre complexe $\lambda$ mais on vient de voir qu'elle est en réalité réelle. On écrit $E=E(\lambda) \oplus F$ avec $dim \,\, F \, < \, n+1$, la restriction de $A$ à $F$ est encore symétrique et par hypothèse de récurrence, cette restriction est diagonalisable. Il suffit alors de recoller les bouts.
Pour prolonger la remarque du poulpe, on peut garder le principe du Mneimné pour montrer en une seule étape que $A$ est (càd sans effectuer de récurrence). Pour ce faire, on considère l'application continue qui à $P$ orthogonale associe $\displaystyle\sum_i((\,^tPAP)_{(i,i)})^2$. Pour toute matrice $P$ orthogonale rendant cette fonction maximale, $\,^tPAP$ est diagonale (exercice).
Dans le Mneimné nouveau, on trouve d'autres splendides applications de ce principe (dont l'une porte la griffe d'Henri Cartan).
Réponses
On peut procéder par récurrence sur n (la matrice est dans Mn(R)).
Pour n=1, il n'y a rien à faire.
Maintenant, montrons qu'une val propre de ta matrice est forcément réelle :
Soit $\lambda$ une vap et $x$ un vep associé:
$=\lambda==conj(\lamda)$ (dsl, je ne sais aps faire la barre en LaTeX).
Ainsi, $\lambda$ est égale à son conjugué et est par conséquent réel.
On peut à présent faire la récurrence:
Si $A\in M_{n+1}(\R)$, alors $A$ admet une valeur propre complexe $\lambda$ mais on vient de voir qu'elle est en réalité réelle. On écrit $E=E(\lambda) \opluls F$ avec $F$ de dim $
dans le cas d'une matrice A symétrique 2x2 (avec a et b complexes distincts et non nuls)
(a b)
(b a)
les valeurs propres sont distinctes : a+b et a-b et la matrice A est diagonalisable
dans le cas d'une matrice A de format 3x3 il faut calculer les valeurs propres; dans le cas de A =
(b a a)
(a b a)
(a a b)
il existe 2 valeurs propres b - a (valeur simple) et b + 2a (valeur double)
et A n'est pas diagonalisable (a fortiori si a = b) ce qui n'empêche pas de calculer A^n par la méthode des suites récurrentes
cordialement
Raisonner matriciellement est peut-être plus naturel :
<http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_spectral>
question de goût tout à fait personnel, on va dire ;-)
Montrons que A symétrique réelle possède une vap réelle.
Posons q(x) = (Ax|x). Sa différentielle vaut q'(x)(h) = 2(Ax|h).
Par compacité de la sphère unité, elle y atteint son sup et son inf.
Soit x un point extrémal.
Alors q'(x) s'annule sur le plan tangent à la sphère en x.
Or h -> (x|h) s'y annule aussi.
Ces deux formes linéaires ont donc meme noyau et sont proportionnelles.
Ce qui montre que x est un vecteur propre et bien sur la vap associée est réelle.
Je trouve cette démo assez magnifique !
je rappelle pour mémoire le résultat établi sur ce site il y a belle lurette:
"toute matrice carrée complexe est semblable à une une une matrice complexe symetrique"
( un petit ex à retenir: la matrice E11 +i(E12 +E21) -E22
est symetrique non nulle et de carre nul et donc pas diagonalisable)
Oump.
On peut procéder par récurrence sur $n$ (la matrice est dans $M_n(\R)$).
Pour $n=1$, il n'y a rien à faire.
Maintenant, montrons qu'une val propre de ta matrice est forcément réelle :
Soit $\lambda$ une vap et $x$ un vep associé:
$=\lambda = = \overline{\lambda} $
Ainsi, $\lambda = \overline{\lambda}$ et par conséquent $\lambda$ est réel.
On peut à présent faire la récurrence:
Si $A \in M_{n+1}(\mathbb{R})$, alors $A$ admet une valeur propre complexe $\lambda$ mais on vient de voir qu'elle est en réalité réelle. On écrit $E=E(\lambda) \oplus F$ avec $dim \,\, F \, < \, n+1$, la restriction de $A$ à $F$ est encore symétrique et par hypothèse de récurrence, cette restriction est diagonalisable. Il suffit alors de recoller les bouts.
Cédric.
PS : je confonds l'endo et la matrice associée.
Dans le Mneimné nouveau, on trouve d'autres splendides applications de ce principe (dont l'une porte la griffe d'Henri Cartan).
Merci md pour les modifs.
Le poulpe, pour info, la démo du Mneimé est aussi dans le Leichtnam.
chris
Comment monter cette matrice est symétrique ? Merci d'anvance !!!
C' est un problème vraiment très difficile.
Amicalement
c'est pas une matrice, tu n'as pas mis les parentheses
Je ne vois pas... Une indication?