Théorème de Cayley Hamilton

Pierre
Pierre
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Dans le rapport du jury d'agreg de 1995, on peut lire ceci :

"Les objets dont l'étude constitue l'essentiel de la leçon doivent être clairement définis et leur construction au moins énoncée. De surcroît, si le titre de la leçon indique qu'il faut construire un objet mathématique précis, sa construction doit être proposée en exposé. Plus généralement, le ou les résultats centraux d'une leçon, surtout si leur preuve est suffisamment copieuse, doivent faire l'objet d'une proposition de développement. Par exemple, la réduction des endomorphismes normaux pour la leçon " Espaces vectoriels hermitiens ", la construction de exp(z) pour la leçon " Groupe multiplicatif du corps des nombres complexes... ", etc... Dans la leçon " Polynômes d'endomorphismes... ", énoncer le théorème relatif aux invariants de similitude et proposer en exposé le théorème de Cayley Hamilton est une erreur."

Donc, est-ce que la preuve du théorème de Cayley Hamilton n'est pas assez "copieuse" pour être proposée en développement ?

Or, on peut lire quelques lignes après :

"Les leçons suivantes: " Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications. "; " Polynômes d'endomorphismes... "; " Sous espaces stables d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie... " ont des intitulés que les candidats identifient comme celui de l'énoncé central, proposant le même plan dans les trois cas, ainsi que le théorème de Hamilton-Cayley en exposé. Or ce théorème n'a pas vraiment sa place comme proposition d'exposé dans la première leçon citée, alors qu'il s'impose dans la deuxième."

Je ne comprends pas très bien : d'un côté c'est "une erreur", et de l'autre, "il s'impose". Au final, qu'est-ce qu'il faut faire ? Il faut le mettre ou pas ?

Pierre.

Réponses

  • Nicolas2
    Nicolas2
    Qu'apporte le theoreme de Cayley Hamilton à la reduction des endomorphismes? Presque rien.
    Est-ce un théorème central pour réduire un endomorphisme? Non.
    Sinon, le théorème de C & H peut etre démontré très rapidement, voir le nouveau Mneimné, il expédie cela en moins de 10 lignes.
    Par contre, le theoreme de C&H ne fait-il pas référence à des polynomes d'endomorphismes? Il fait meme le lien entre deux polynomes bien connus....

    Nicolas
  • léo2
    léo2
    en tant que PC il est hors programme mais tellement utile en exos, surtout pour ceux des oraux type X EnS
    et c'est vrai que la démo est ni longue ni horrible...
  • Pierre
    Pierre
    Je suis parfaitement d'accord avec vous, et c'est justement pour ça que je ne comprends pas pourquoi c'est une erreur de le proposer en développement dans la leçon "Polynômes d'endomorphismes etc.." lorsqu'on énonce dans son plan le théorème relatif aux invariants de similitude.

    Ces deux phrases du rapport me paraissent contradictoires. D'un côté, c'est un théorème central de la leçon, donc il faut le proposer en développement, mais si dans cette leçon, on énonce le théorème des invariants de similitude, ça devient une erreur. Je me trompe ?

    Pierre.
  • Pitchou1
    Pitchou1
    Je pense que ce que veut dire le jury, c'est que le theoreme des invariants de similitudes est tellement puissant que si tu l'enonces , tu dois le proposer en developpement. Par contre , si tu ne le mets pas dans ta lecon, tu peux proposer le theoreme de Cayley Hamilton. Il faut juste savoir etre en accord entre le niveau de ta lecon, et celui de tes developpements

    Pitchou
  • Nicolas2
    Nicolas2
    En gros, il s'impose si tu ne présentes pas les invariants de similitude (ou on utilise pas mal le Thm de C&H).
    Je considère que la démonstration seule n'est pas assez copieuse et si tu le développes, la démonstration doit etre suivi d'applications.
    En bref, il n'y a de regles toutes faites pour bien reussir à l'agreg, il me semble important de présenter un plan et des developpements cohérents et de faire preuve de "bon sens".

    bon courage,
    Nicolas
  • kilébo
    kilébo
    Je suis de l'avis de Pitchou. Tout cela est une question d'homogéénité entre ton plan et ton exposé. Grosso-modo un bon choix de développement correspond aux résultats les plus "puissants" de ton plan. Sinon, il se créé un déséquilibre qui peut être préjudiciable.
  • Pierre
    Pierre
    Ok, merci pour vos réponses.
    Pierre.
  • izboldyne
    izboldyne
    Il faut savoir, lorsque l'on parle de facteurs invariants et de K[X]-modules, que le théorème de Cayley-Hamilton découle simplement du fait que le déterminant d'un endo agit de façon triviale dans le conoyau. Comme le conoyau de l'endomorphisme A-XI_n est précisément E_u, c'est gagné.

    C'est sans doute cela que le jury avait en tête l'année dernière. Cette année, le Jury a changé.

    On ne se baigne jamais deux fois dans le même fleuve.
  • Ben
    Ben
    Kilebo, je ne sais pas s'il est utile de devoir proposer forcément les résultats les plus puissants en développement, parce qu'il se peut fort qu'ils depassent le cadre des 15 min reglementaires. Par contre il est essentiel d'en connaitre une demonstration.
  • kilébo
    kilébo
    Oui tu as raison si la démonstration dépasse le cadre imparti, il n'est pas nécessaire (et pas souhaitable !) de proposer le développement dans ce cas.

    Mais dans ce cas précis, les résultats sur les invariants de similitude est un développement classique.

    Comme tu le fais remarquer, il faut dans tous les cas connaître le principe de la démonstration des résultats énoncés.
  • le dadaiste
    le dadaiste
    personnellement, en deug 2 je me rappelle avoir "subi" une démonstration de C&H par récurrence assez laborieuse ...
  • le dadaiste
    le dadaiste
    ...et plus proche de 10 pages que de 10 lignes...
  • Nicolas2
    Nicolas2
    Je viens de revoir la démo de Mneimne sur C&H, et elle fait exactement 5 lignes.
  • GLaG
    GLaG
    Si tu as le temps de la recopier, je suis curieux !
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    JE crois vraiment pas que le jury apprecie une démo de 5 lignes. M'enfin je suis pas jury d'agreg apres tout.
  • Nicolas2
    Nicolas2
    La voilà, elle tient même trois lignes! ici.


    Si $\lambda_1$ est une valeur propre de $A$, et $H$ un hyperplan contenant l'image de $A-\lambda_1 I$, la restriction de $A$ à $H$ a les mêmes valeurs propres que $A$, la valeur propre $\lambda_1$ en moins (juste une fois). En répétant l'opération, il est facile d'établir que le rang de la matrice $(A-\lambda_1 I)*(A-\lambda_2 I)*...*(A-\lambda_i I)$ est inférieure ou égal à $n-i$.
  • Nicolas2
    Nicolas2
    Décidement, je suis incapable de taper un message sans fautes d'orthographe, lire "inférieur" au lieu de "inférieure".
  • seb
    seb
    Pour une fois je suis déçu par Mneimne. Pourquoi aller chercher une cloture algébrique ou un corps de décomposition (c'est comme on veut) pour démontrer ce résultat ? En plus, si on parle d'endomorphisme, cela impose de prendre une base, regarder la matrice dans cette base et enfin voir cette matrice à coefficients dans la cloture algébrique...

    5 lignes mais comme c'est souvent le cas dans Mneimne, beaucoup de sous-entendus. C'est finalement bien compliqué pour un résultat aussi simple...

    Seb
  • le poulpe
    le poulpe
    seb

    quelle est ta démo?

    ça m'intéresse beaucoup.
  • Gecko
    Gecko
    Salut
    la demo de nicolas, ca rapelle des techniques pour les sous espaces stables.
    J'ai l'impression que c'est toujours la meme.
  • kilébo
    kilébo
    Je trouve que ce genre de démonstration font cinq lignes car c'est un principe de démonstration mais pas une démonstration au sens que l'entendra un jury d'agrégation en tout cas.
  • vanpyr
    vanpyr
    Mneimné n'aurait rien perdu à ajouter quelques lignes à sa démo. La voilà avec 13 lignes. Le désir de faire sensation est regrettable.

    Soit $A$ une matrice à polynôme caractéristique scindé de taille $n\times n$. Soit $\lambda_1$ est une valeur propre et $H_1$ un hyperplan qui contient $Im (A-\lambda_1 I_n)$. Dans une base adaptée à une somme directe $H_1\oplus D=K^n$, la matrice de $A$ a une dernière ligne nulle sauf en dernier lieu où elle a $\lambda_1$. Le polynôme caractéristique du bloc diagonal $(n-1)\times (n-1)$ est le quotient de celui de $A$ par $X-\lambda_1$. Il est donc scindé. Soit $\lambda_2$ une de ses racines. L'image de la matrice $(A-\lambda_2 I_n) \times (A-\lambda_1 I_n)$ est contenue dans un hyperplan de $H$ : elle est donc de rang $\leq (n-2)$. La suite est claire.
  • 4soldatsbourguignons
    4soldatsbourguignons
    Tout le monde sait que Cayey-Hamilton est indépendant du corps. je ne comprends pas trop l'intérêt de discuter du scindage du polynôme caractéristique.
  • seb
    seb
    Il existe bien sûr plusieurs démonstrations de CH. A mon avis, la plus instructive en terme de réduction repose sur le lemme suivant :

    Si $u\in L(E)$ et $\pi_u$ est son polynôme minimal, alors il existe $x\in E$ tel que le polynôme minimal en $x$ noté $\pi_{u,x}$, ie le générateur unitaire du noyau de $P \mapsto P(u)(x)$, soit $\pi_u$.

    Ce résultat est une application assez simple du lemme des noyaux. Il est souvent très utile : c'est par exemple le point de départ de la décomposition en matrices compagnons.

    Si $d=deg(\pi_u)$, $(x,u(x),...,u^{d-1}(x))$ est alors libre, on la complète en une base de $E$. On obtient une matrice triangulaire supérieure par blocs, dont le bloc en haut à gauche est la matrice compagnon associée à $\pi_u$. Le calcul du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs donne alors $\chi_u=\pi_u*Q$, donc $\chi_u(u)=0$.

    Sinon, on peut bien sûr utiliser la formule $(A-XI)^tCom(A-XI)=\chi_A(X) I$ mais on peut vite dire des conneries...

    Seb
  • 5soldatsbourguignons
    5soldatsbourguignons
    La plus expéditive des démo se trouve consiste à considérer la matrice de terme général en position $i,j$ l'indéterminée $X_{ij}$. Cette matrice a ses valeurs propres distinctes. Cayley Hamilton est dans un tel cas immédiat. Elle annule donc son polynôme caractéristique. par spécialisation, il en est de même de toute matrice.

    Bonne fin de semaine à tous et profitez du beau soleil, avant qu'il ne fasse trop chaud.
  • 5soldatsbourguignons
    5soldatsbourguignons
    La plus expéditive des démo se trouve consiste à considérer la matrice de terme général en position $i,j$ l'indéterminée $X_{ij}$. Cette matrice a ses valeurs propres distinctes. Cayley Hamilton est dans un tel cas immédiat. Elle annule donc son polynôme caractéristique. Par spécialisation, il en est de même de toute matrice.

    Bonne fin de semaine à tous et profitez du beau soleil, avant qu'il ne fasse trop chaud.
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    La plus expéditive des démo se trouve consiste à considérer la matrice de terme général en position $i,j$ l'indéterminée $X_{ij}$. Cette matrice a ses valeurs propres distinctes. Cayley Hamilton est dans un tel cas immédiat. Elle annule donc son polynôme caractéristique. par spécialisation, il en est de même de toute matrice.

    Bonne fin de semaine à tous et profitez du beau soleil, avant qu'il ne fasse trop chaud.
  • kilébo
    kilébo
    Quelqu'un a compris cette dernière démonstration ?
  • Glop
    Glop
    Je traduis (mais ça perd de son charme):
    On considère la matrice $A = (X_{i,j})_{i,j}$ à coefficients dans le corps $L = K(X_{1,1}, X_{1,2}, \ldots, X_{n,n})$. Ses valeurs propres (évaluées dans une extension satisfaisante de $L$) sont deux à deux distinctes (sinon, en remplaçant les $X_{i,j}$ par des éléments de $K$, on verrait que toute matrice à coefficents dans $K$ aurait une vp double*). Donc $A$ annule son polynôme caractéristique~: $\chi_A(A) = 0$. Si on développe cet expression, on obtient la nullité de $n^2$ fractions rationnelles (ds $K(X_{1,1}, X_{1,2}, \ldots, X_{n,n})$).
    Si on substitue maintenant aux $X_{i,j}$ des éléments $(b_{i,j})$ de K, on obtient l'annulation de $n^2$ éléments de $K$ qui ne sont autres que les coefficients de $\chi_B(B)$. cqfd.

    Glop

    *si $K$ est infini. Si $K$ ne l'est pas, on le plonge dans un corps infini.
  • Titou0
    Titou0
    {\bf La plus expéditive des démo se trouve consiste à considérer la matrice de terme général en position $ i,j$ l'indéterminée $ X_{ij}$. Cette matrice a ses valeurs propres distinctes.}

    Juste une question : pourquoi les VP sont-elles distinces ??

    Si $M=\begin{pmatrix}
    X_{11} & X_{12}\\
    X_{21} & X_{22}\\
    \end{pmatrix}$

    A quoi ressemblent les valeurs propres ?
  • Trivecteur2
    Trivecteur2
    Joli démo.

    Trivecteur
  • Trivecteur2
    Trivecteur2
    Précisons quand même que cette démonstration est signalée parmi les 18 compilées par Michel Coste,

    <http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/HaCa.pdf&gt;

    Trivecteur
  • Bordelaise
    Bordelaise
    Cette démonstration figure dans le new livre de Mneimé chez Calvage et Mounet (Réduction des endomorphismes). Voir pages 26 et 27. Pour la matrice 2x2,
    $P=\left (\begin {array} {cc}
    X & Y\\
    Z & T\\
    \end{array} \right)$, les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique

    $ x^2-(X+T)x+XT-YZ$. Elles sont distinctes, car le discriminant de l'équation du second degré est $(X+T)^2-4(XT-YZ)=(X-T)^2+4YZ\neq 0$.
  • P.Fradin
    P.Fradin
    Une autre démo:

    Soit $B=XI_n-A$ dans $M_n(\mathbb{K}[X])$, on sait que $B{}^t\mathrm{Com}(B)=\det(B)I_n$, avec $\det(B)=\sum_{k=0}^n a_kX^$. En utilisant l'isomorphisme (de K-algèbres) naturel entre $M_n(\mathbb{K}[X])$ et $M_n(\mathbb{K})[X]$, on obtient:

    $$(I_nX-A)Q(X)=\sum_{k=0}^n a_kI_nX^k$$

    or $A=XI_n-B$ donc $A$ commute avec ${}^t\mathrm{Com}(B)$, et donc avec les coefficients du polynôme $Q(X)$, ce qui justifie que l'on peut substituer $A$ à $X$ dans la relation précédente.
  • P.Fradin
    P.Fradin
    Rectificatif: il manque un exposant

    $\det(B)=\sum_{k=0}^n a_kX^k$
  • archimède0
    archimède0
    Le mieux est de prouver le thm de Cayley-Hamilton :
    Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.
    On note $\chi_u$ (resp. $\mu_u$) le polynôme caractéristique (resp. minimal) de $u$.
    Alors $\chi_u(u)=0$ et les polynômes $\chi_u$ et $\mu_u$ ont les mêmes facteurs irréductibles.

    On le prouve aisément par récurrence sur la dimension.
  • Glop
    Glop
    Attention, il y a ici une erreur à ne pas commettre (que commet par exemple l'auteur de <a href=" http://www.uel.education.fr/consultation/reference/mathematiques/reducmat1/apprendre/fa2.1001/"&gt; http://www.uel.education.fr/consultation/reference/mathematiques/reducmat1/apprendre/fa2.1001/</a>, <BR>cours par ailleurs plutôt bien fait).
    <BR>
    <BR>Glop<BR>
  • deufeufeu
    deufeufeu
    mmm je viens de verifier et j'ai une démo bizarre dans mon cour de prépa (mais mon prof aussi était bizarre)
    Soi $f \in \mathcal{L}(E)$, $\forall w \in E, w \neq 0$, on a $E$ (plus petit sous espace contenant $w$ et stable par $f$), on pose $g = f_{E}$. Par determinant d'un bloc trigonal on a $\chi_g$ divise $\chi_f$. Et $w$ totalisateur pour $g$, entraine (bon il faut un lemme) que $\chi_g = (-1)^{dim(E)} \mu_g$. Donc $\chi_g(g) = 0$, qui entraine $\chi_f(g) = 0$. Mais $g(w) = f(w)$, donc on a montré $\chi_f(f)(w) = 0$ pour tout $w$, et donc $\chi_f(f) = 0$.
    Voila j'ai du mal à pas penser que c'est un peu massue, et pourtant pas aussi simple que la matrice generique...
  • izboldyne
    izboldyne
    De toutes celles que j'ai vues plus haut, c'est la mienne (qui, bien sûr, n'est d'ailleurs pas de moi) que je préfère.
  • P.Fradin
    P.Fradin
    <B>Attention, il y a ici une erreur à ne pas commettre (que commet par exemple l'auteur de ...</B>
    <BR>
    <BR>Si c'est de la démo avec la comatrice dont il s'agit, je précise qu'elle est parfaitement correcte (et elle n'est pas de moi), mais il y a sans doute quelques subtilités liées à la substitution qui peuvent facilement échapper...
    <BR>
    <BR>De toute façon quand on pense avoir trouver une erreur (et il arrive à tout le monde d'en commettre), on dit laquelle!<BR>
  • Glop
    Glop
    Bonjour Patrick,

    Tu es l'auteur ? Désolé si je t'ai blessé. Il arrive à tout le monde de commettre une erreur et ce n'est pas grave, tu as entièrement raison. Surtout lorsque l'on met un cours de qualité à disposition de tous. Mais en l'occurence, je ne m'adressais pas à l'auteur, de moi inconnu. Si je ne disais pas où était l'erreur, c'était pour laisser comme un genre d'exercice. J'avais d'ailleurs vainement cherché une adresse à laquelle transmettre cette information. Et d'ailleurs c'est peut-être moi qui me trompe, en effet. Tu vas me le dire.

    Il s'agit de la preuve du fait que les facteurs irréductibles de $P_{car}$ divisent $P_{min}$. Tu décomposes $E$ en $E = \oplus ker(P_k(f))^{{n_k}'}$, puis considère l'endomorphisme induit $f_k$ sur chaque sev. Tu constates que le polynôme minimal de $f_k$ divise $P_k^{{n_k}'}$ et conclues que $P_k$ divise $f_k$. Je suis d'accord. Sauf si $ker(P_k(f))^{n_k'} = {0}$. Dans ce cas, ça ne tient plus.

    Cordialement,

    Glop.
  • P.Fradin
    P.Fradin
    Bonjour Glop,

    Non je ne suis pas l'auteur, mais je vois que nous ne parlons pas de la même preuve! Voilà un quiproquo en puissance.

    bon, je regarderai la preuve dont tu parles ce soir car mes enfants m'attendent avec une grande impatience!
  • Titou0
    Titou0
    A bordelaise : les valeurs propres dont vous parlez appartiennent à QUEL corps ??? peut-être serait-il bon de le préciser.

    Si on prend la matrice de rotation suivante :
    $\begin{pmatrix}
    cos(x) & -sin(x)\\
    sin(x) & cos(x)
    \end{pmatrix}$
    avec $x=\frac{\pi}{4}$, elle n'admet aucune valeur propre réelle.
    Il faut donc considérer un corps plus gros.


    Vous considérez {\bf implicitement} que la matrice 2x2
    $M=\begin{pmatrix}
    X & Y\\
    Z & T
    \end{pmatrix}$

    est à coefficients dans $L$, un surcorps de $\Q(X,Y,Z,T)$, dans lequel le polynôme caractéristique $P$ de $M$ est scindé.

    L'existence de $L$ doit être à mon sens justifiée. On peut toujours prendre une clôture algébrique de $\Q(X,Y,Z,T)$... (quel argument marteau pilon !), ou encore faire appel à la théorie du corps de décomposition d'un polynôme.
  • P.Fradin
    P.Fradin
    Glop:
    tu as raison, si $\ker(P_k(f)^{n'_k})$ est réduit au vecteur nul, alors le polynôme minimal de $f_k$ est tout simplement égal à 1! Donc dans ce cas, l'argument tombe à l'eau à moins de justifier qu'un tel noyau ne peut pas être réduit au vecteur nul, ce qui doit être le cas il me semble.
  • pg0
    pg0
    Oui, mais normalement, on le démontre en disant justement que tout facteur irréductible du polynôme caractéristique est facteur irréductible du polynôme minimal.
  • pg0
    pg0
    Oui, mais normalement, on le démontre en disant justement que tout facteur irréductible du polynôme caractéristique est facteur irréductible du polynôme minimal.

    Je met en pièce jointe une démonstration (qui devrait être correcte, je l'espère).
  • P.Fradin
    P.Fradin
    Je viens de lire la preuve de pg, cela me parait tout à fait correct, à part une coquille dans la dernière ligne de la preuve où il faut lire:
    <BR>
    <BR><B>aucun polynôme de degré <n ne peut annuler u</B>, ce qui ne change rien à la preuve.
    <BR>
    <BR>A première vue j'ai l'impression que l'on peut également en déduire que si le polynôme caractristique de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/16/90561/cv/img1.png&quot; ALT="$ u$"></SPAN> est:
    <BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="171" HEIGHT="62" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/16/90561/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle P_u(X)= (-1)^n \prod_{k=1}^p P_k^{m_k}$"></DIV><P></P>
    <BR>avec les <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="21" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/16/90561/cv/img3.png&quot; ALT="$ P_k$"></SPAN> irréductibles et distincts, alors la dimension de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="92" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/16/90561/cv/img4.png&quot; ALT="$ \ker[P_k(u)^{m_k}]$"></SPAN> vaut exactement <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="82" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/16/90561/cv/img5.png&quot; ALT="$ m_k\deg(P_k)$"></SPAN>, me trompe-je?<BR><BR><BR>
  • pg0
    pg0
    Merci de m'avoir signaler la coquille. Je l'ai corrigé et j'en ai profité pour ajouter le résultat que vous mentionnez (et dont la démonstration est identique à celle de la dimension des espaces caractéristiques lorsque le polynôme caractéristique est scindé).

    J'espère qu'il n'y aura pas d'erreurs cette fois-ci dans la pièce jointe.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 24

AmadouDombiguine_equation +21 Invités