Gram-Schmidt

$P_0 = a$ si $||a|| = 1$

Ensuite on pose $P_1' = X - (X|P_0)P_0$. Ce polynôme est forcément orthogonale à $P_0$ car $(P_1|P_0) = (X|P_0) - (X|P_0)(P_0|P_0) = 0$.

On pose alors $P_1 = \frac{P_1'}{||P_1'||}$. (On remarque que $P_1'$ ne peut être nul par indépendance de 1 et X.

Tu détermines alors les coefficents b et c par ce calcul.

Ensuite, exactement de la même façon :
On pose $P_2' = X^{2} - (X^{2}|P_1)P_1 - (X^{2}|P_0)P_0$ qui sera de la même façon orthogonal à $P_0$ et $P_1$ (et donc orthogonal à $Vect(P_0, P_1))$. Puis $P_2 = \frac{P_2'}{||P_2'||}$.

De la même façon, tu obtiendras tes coefficients d, e, f. C'est ça la méthode Gram-Schmidt.

Après, tu aurais pu déterminer directement les coefficients a, b, c, d, e et f par identification (c'est ce que ton énoncé semble suggérer) mais dans ce cas ce n'est plus la méthode constructive de Gram-Schmidt mais simplement le résultat (plus faible) d'existence d'une base orthonormale (qui devient unique si l'on ajoute des critères supplémentaires du type de ceux qui apparaissent dans l'énoncé de Gram-Schmidt).