Groupe de galois S6

On a : soit $H \subset \mathcal {S}_n$ ($n$ non nécessairement premier). S'il contient un $n-$cycle, un $(n-1)-$cycle et une transposition, alors $H = \mathcal {S}_n$.

Ici : soit $P = X^6 - X - 1$. On a $disc(P) = 67 \times 743$ et :

(i) $P \equiv (X+2)(X^5+3X^4+4X^3+2X^2+X+2) \pmod 5$, donc son groupe de Galois contient un $5-$cycle,

(ii) $P \equiv (X^2+2X+2)(X^4+5X^3+2X^2+3) \pmod 7$, donc son groupe de Galois contient un $4-$cycle et une transposition.

C'est donc $\mathcal {S}_6$.

Borde.

De rien, Colin.

J'avais oublié de préciser (mais tu le savais surement...) que cette méthode, due à Dedekind, doit être employée en utilisant des factorisations de $P$ dans $\Z / p \Z[X]$ avec $p$ premier tel que $p \nmid disc(P)$ (d'où le calcul du discriminant ci-dessus).

Borde.

Colin : Oui, mais, pour de petits degrés, on peut programmer des résultants sur des machines à calculs formels.
<BR>
<BR>Tralalaiou : par exemple, <I>Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre</I> 1, par <I>Francinou, Gianella</I>, Masson.
<BR>
<BR>Borde.<BR>

Il me semble que tu avais déjà évoqué ce sujet il y a quelque temps, mais je ne m'en souvenais plus. Par ailleurs, je ne garantis pas la paternité de ce résultat à Dedekind.

Dans le doute, je pense que tu as raison.

Borde.